Exemple II. Construire les racines de l’équation

2#* + bx* 4- ôx — 8 = 0.

Si, employant la méthode donnée (§ 122), on pose y — x *, on a à construire une hyperbole

ixy -f- b y — 5x — 8 = 0,

dont la branche inférieure fait connaître par son intersection avec la parabole les racines 1,49, — 1,15.

La troisième racine ne peut être déterminée, parce <jue l’intersection se fait hors de l’épure.

Pour connaître cette troisième racine , on peut remarquer que la somme des trois racines est — 2 ; comme on connaît déjà deux d’entre elles , la troisième s’obtient par une soustraction , ce qui donne — 2,34.

128. Exemple III. Soit l’équation du sixième degré x° — Sx* — 2x 3 — x* + 8# + 1 =0.

Posant y x 3,

on a l’hyperbole

y 1 — 2 xy — x* — 2y + 8x -f- t = 0.

Pour la construire, résolvons par rapport à y, il vient y = x + 1 dr \Z%x* — tix.

Traçons le diamètre y = x - 1- 1 , on obtient dès lors la courbe sans peine, en ayant soin de tracer avec exactitude les portions de la courbe voisines des points d’intersection.

La figure 3 montre que l’équation a deux racines seulement; en les mesurant on trouve — 0,13 et — 1,68.

Four arriver par l’algèbre à ces conclusions , il eût fallu de nombreux essais pour connaître avec la même approximation les racines existantes et l’application du théorème de Sturm pour s’assurer qu’il n’y a que deux racines.

129. Exemple IV. Soient à construire les racines de l’équation

Je laisserai au lecteur le soin de construire les racines de cette équation , choisie pour justifier la proposition énoncée (§ 117). Cette équation a, en effet, deux racines voisines de t/2 et deux autres voisines de — l/ 2. Si on la regarde comme résultant de l’élimination de y entre les deux équations

' V = & — 2 el y ' = ~ i)x + 100 ’

la construction de ces deux courbes rend évidente (tig. 4) l’existence de ces quatre racines, et montre aussi qu’il en existe deux autres.

fi g. 4

TMT i

! ni