AU

On écrit en ligne verticale les nombres donnés, on retranche chacun d’eux de celui qui le suit et on écrit le résultat à droite du nombre retranché, on obtient ainsi la colonne A, à l’aide de celle-ci la colonne A", etc.

Cç tableau montre en même temps comment , à l’aide de m 0 , Att 0 .... A 6 m 0 , on pourra calculer les diverses lignes horizontales, en ajoutant à-chaque terme celui qui le suit, ce qui fournira le terme placé au-dessous du premier d’entre eux. On arrivera ainsi à

Voyons maintenant dans quelles circonstances on aura à effectuer de semblables calculs.

154. Applications. Lorsqu’on donne une suite de m + 1 nombres

(1) K, «, V, Hm ,

il peut arriver que la loi de la succession de ces nombres ne puisse être aperçue et que dans la suite des différences (A") on observe une loi qui permette de prolonger cette suite autant qu’on le veut, et, par suite, de prolonger ainsi A" -1 , A" —î et, enfin (1), autant qu’il est nécessaire.

Exemple. Soit donnée la suite des 6 nombres 2 3 8 21 40 91.

On pourra à l’aide de ces nombres former le tableau suivant :

La loi des différences secondes est évidente ; elle suit une progression géométrique dont la raison est 2 ; on peut la prolonger, et, par suite, la suite A et la suite u.

Si on veut avoir l’expression générale d’un terme quelconque u n , il faut appliquer la formule donnée en remarquant que A’m,, = A*m 0 = — 4, d’où

Or,

par suite

Un = 2 + » -f- 4 (2" — 1 — n)

Un — 2"-*-* — 3 n — 2.

En donnant à n toutes les valeurs entières positives ou négatives, on aura tous les termes de la suite (u) prolongée.

Supposons que n ne soit plus assujetti à être entier et désignons par x la valeur variable de n, la fonction y = 2*-+-* — 3x — 2

jouira des propriétés suivantes :

1° Elle prendra les valeurs données 2, 3, 8, 21, 50, 1 H pour a: = 0, 1, 2, 3, 4, 5;

2° Elle fera connaître pour toute valeur de x la valeur de la fonction satisfaisant à la loi qui résulte des données.

Uns formule qui jouit de ces propriétés est uue formule d’interpolation.

Avant de nous occuper de lu recherche des formules qui remplissent les conditions précédentes, signalons une propriété importante des fonctions entières et qui consiste en ce que :

155. Si des nombres u„, u,, u, .... u„ sont les résultats de la substitution de valeurs équidistantes de la variable x 0 , x, ,

x, x„ dans une fonction entière de degré m , la différence

d’ordre m est constante.

Pour démontrer cette proposition, remarquons d’abord que si h désigne la différence des deux valeurs successives de x, la différence des résultats de la substitution de ces valeurs dans la fonction u = f (x) sera représentée quel que soit x par

An = f {x 4- A) — f (x) ou

Ah — h F (.r) + r (*) +■•■• — = f, (■»),

d’où l’on voit que l’expression de A u sera d’un degré inférieur d’une unité à celui de la fonction u.

La différence seconde de u étant la différence première de Am, aura pour expression

A Hi = f t (x -f- A) — f, ( x ) ou

A'u = hf,‘ (x)-\- f," (x) + ....= (x),

elle sera d’un degré inférieur de deux unités à celui de m, et ainsi de suite. A m M sera d’un degré inférieur'de m unités à celui de m, c’est-à-dire indépendant de x. Sa valeur sera donc constante, par suite A"*-* -1 u sera nul.

Cette propriété est fort utile quand on a besoin de calculer les valeurs d’une fonction entière pour une longue série de valeurs de la variable en progression arithmétique. Il suffit alors de calculer directement les valeurs de cette fonction supposée de degré m pour m valeurs x 9 , x„ 4 -h.... de la variable, on en déduit m — I différences premières, m — 2 différences

secondes, etc une différence (m — 1 La différence m im ‘

étant constante , ne peut dépendre que de la fonction donnée et de l’intervalle h des nombres substitués; et si l’on observe que la différence d’une somme est la somme des différences des termes dont elle se compose, on verra que la différence d’un polynôme ordonné, de degré m, ne dépend que du premier terme , car la différence »i ènit des termes qui suivent est nulle.

Pour en trouver l’expression , remarquons encore que la différence (m — l) ème de Au ne dépend que du premier terme de Am , que la différence ( m — 2) èmo de A*u ne dépend aussi que du premier terme de A*w et ainsi de suite.

Or, le premier terme de Am est la dérivée du premier terme de m, multiplié par h; soit \x n ce terme, on aura

mka?*—' h

pour premier terme de Am ,

pour premier terme de A’m ,