Étant donnée une suite de nombres, limitée ou illimitée

Si on retranche chaque nombre de celui qui le suit, on forme une nouvelle suite

dont les termes sont ce que l’on nomme les différences premières de la suite u et que l’on écrit

(Au) A U 0 AU, AU,

La suite (Ait) donne de même naissance à une nouvelle suite de différences

Av, — Au, AU, — Au,

qu’on nomme les différences secondes de la suite (u) et que l’on écrit

(â*tt) A'u, A'ii, .....

On forme île même les différences premières de (A'w) ou les différences troisièmes de (m), et ainsi de suite.

D’après cela le terme général de la série des différences de l’ordre n sera

et sa liaison aux différences de l’ordre n — 1 est définie par la relation

Si la suite u renferme h + 1 termes , la suite Am en renfermera n, la suite A *m en contiendra n — 1, etc.... La suite ( A" m) n’en aura qu’un.

152. Remarquons qu’en regardant les indices de u et de A comme des exposants, la relation précédente reste vraie quand on multiplie les deux membres par une puissance entière de u ou de A, ei, par suite, elle est encore exacte en multipliant les deux membres par une fonction entière de u ou de A, ou de m et A, pourvu qu’après la multiplication on rende aux exposants leur sens primitif d’indices. En un mot, A et» peuvent être considérés comme des facteurs.

153. D’après cela la relation précédente, réduite à sa forme la plus simple, est

A = m — 1 ou u = 1 -t- A.

Il en résulte en élevant à la puissance n,

n(n — Il , , n(n— 1V..3.2.1. „

M»=(l+A)»’=l H- llà h Yi A ’ : — A”

Multiplions par u p et rétablissons les indices, il vient en supposant p = o, ce qui ne diminue pas la généralité de la formule,

a " «„ = m„ — nu„— i h «*-»—•••• — — jâ JT~ u ° ’

Un

fl (fl I )

-+- «A n 0 -\ j-^ — Ami, — t— .... — t—

D’où l’on voit que l’on pourra soit calculer successivement les différences des divers ordres, étant donnés «„ et, réciproquement, u n connaissant Au„.... A n w 0 ; soit

calculer directement à l’aide des formules ci-dessus A r u 0 ou u r , p étant plus petit que «.

Lorsque le calcul se fait successivement, on le dispose comme il suit :

Soient donnés u„ , A «„ .... A , ou w 0 , v , . . . . «,

A 3 tt„