LIVRE IV. — THÉORIE DES MURS DE SOUTÈNEMENT
quelconque b. L'angle est indépendant de la profondeur de ce point. Si Ton introduit dans (3) la valeur de tang ip, et qu'on y fasse en même temps
a: = Ge = H + Aetc = HG = CG--CH = A — a. tanga,
la poussée des terres sur le parement BH tout entier se trouve exprimée par
P = f(H+atang«)(H+2A-atang«)^j^:^;^;;^. (S)
Dans cette formule il reste une inconnue : l'épaisseur en couronne du mur de soutènement, «, qui entre dans la quantité a tang a qui est la hauteur CH. Nous nous débarrasserons <ie cette quantité en la remplaçant par une fraction déterminée de la hauteur H du mur, et choisissant la plusgr^inde fraction qui puisse être donnée dans les cas pratiques par les formules qu'on verra plus loin. En général, a est au plus le tiers de H. Posons cependant plus généralement a = wH, Pour abréger les calculs, posons en outre
COS Ç COR Cp Cp^O
P 2~('rF8in'(pV??)« (V/2H-2siDcp)* (J,4142-+-28in *)* '
q—pœs<p —2(l-f-sin(? 1/2)* ""(1,4142+25111 <?»)*' / ^
r — osina) = r/tanff ffi— — ?ili£îiî sinycosy
"^—^^'"^ ^ ■"^?— 2(H-sin9V/5)' — (l,4142+28in9)*'
On trouve alors pour la poussée totale :
P=pw (H+ wH tang «) (H-t- 2h — nH tang «) ; (7)
puis, pour sa composante horizontale ;
Q= Pcos (f=qu) (H-h wH tang a) (H-h2A— wH tang a), (8)
et pour sa composante verticale :
R=P sin 9=rto(H-+-nH tang a) (H-h2A— wH tang a). (9) Il est à remarquer que si la charge est assez peu élevée pour cyie
CG soit < CH ou A < a tang a, on doit, dans les formules qui pi^ cèdent, remplacera tang a par A, ce qui donne :
P=/no(H+A)«, Q=qw{E+h)^, R=nc(H+A)«. (1«)
Si A=0, les formules se simplifient encore :
P=pu)W, Q = ytDH«, R=rti?H«. (iOa)
§ 84. Formules pour la poussée des terres dans le second cas.
Conservant les notations du paragraphe précédent, nous nommons en outré y la profondeur d'un point b quelconque au-dessous du point H, et W',P',Q',R' le poids, la poussée résultante, les poussées horizontale et verticale d'un prisme de terre H6A: contre le parement HA.
La distance du point A: à la verticale B6' est ici :
tang V — tang X '
donc la surface
2 * tang4> — langa '
d'où w'=f.— ri^; ; (H)
» tang^l' ~ tanga ^ ^ '
et, en ayant égard à (2) :
p/__W7 t/» C0S9 tang <|»— tang y
2 * lang «l/ — tang a * cos 2cp * 1 -h tang 2cp tang <1> '
w 2 c o^? tang ^ — ■ tang y
"^2'' C08 2? ' tang2<ptaiig*4'-f-[t — tanga tang2cp] tangtl'— tangoc *
Cette poussée devient un maximum pour
L'angle ^ de rupture ainsi déterminé pour le point b est indé-
LIVRE IV. - THÉORIE DES MURS DE SOUTÈNEMENT. 333 * ' "^ On verra plus tard qiie Ton doit prendre pour n la valeur g ,
^^'ainsi « = - H approximativement dans les cas les plus défavo-
"Snibles. Remplaçant dans (19) n par cette valeur et en même temps .JD et jo' par leurs expressions, on a
Pour une même valeur de ç, g croît avec a. Mais a ne peut dépasser le talus naturel 9. Si donc on fait a = <?, on aura le maximum des valeurs que peut atteindre -^ pour une valeur donnée de 9. Ce maximum est •
^ = J|(l + sin9|/2r.(3-htang9)-(3-tang(p)j. (21)
Ce maximum lui-même croît avec l'angle 9 du talus naturel. Dans la pratique, 9 est au plus 45°. Le maximum du maximum est alors
D'où il suit que la formule P ne saurait être applicable tout aii plus qu'aux cas où la surcharge h ne dépasse pas deux fois ^la hauteur H du mur. Pour des hauteurs plus fortes, c'est P' qui donnera les résultats les plus exacts.
Si la surcharge est assez faible pour qu'on ait A <« tang a^ ou sensiblement
on devra appliquer les formules plus simples (10).
Les deux tableaux ci-dessous permettront d'apprécier plus aisément les limites des valeurs de g pour lesquelles on doit avoir recours aux formules (10), (7), (16), ces limites variant avec « et 9.
dont rinclinaison sur l'horizon ne dépasse pas l'angle «p du talus naturel, la poussée ne peut croître indéfiniment avec la hauteur de charge.
Pour « = 0, les formules ci-dessus coïncident avec les formules (10 a). •
§ 85. Limites d'application de chacune des formules précédentes.
En admettant Tune ou l'autre des deux hypothèses simplificatives que nous avons établies tout à l'heure, on modifie non-seulement l'intensité de la poussée, mais encore la hauteur du point d'appBcation de cette force. Plus loin nous chercherons approximativement la hauteur de la poussée réelle^ et nous assignerons cette hauteur comme bras de levier tant à la poussée P, tirée de (7), qu'à la poussée P', tirée de (16). Cela donnera des résultats toujours trop forts, parce que P et P' sont plus grands que la vraie poussée. Mais il faut remarquer tout d'abord que ce bras de levier est le même, soit qu'on se serve de l'expression P ou de P'. Par conséquent, le mur de soutèn^ement le plus épais sera celui qui répondra à la plus grande des deux poussées P et P'. Or, chacune de ces deux poussées donne un mur trop fort ; on peut donc se contenter de donner au mur la plus faible des deui^ épaisseurs calculées ; en d'autres termes, de n'employer au c^lpul du mur que celle des deux formules qui répond à 1^ moindre des deux valeurs P,P'.
Quelles que soient les valeurs des angles de talus efTectifetde talus naturel, a et ?, la formule (7) ou (10) est celle qui donne la poussée la plus faible, par conséquent la plus voisine de la vérité, quand la surcharge de terre est petite, ou que h est petit par rapport à H. Si A augmente, P croît et pour une certaine valeur de A P atteint la valeur P' tirée de (16). Si la surcharge de terre continue d'augmenter par rapport à la hauteur du mur, la formule P' donne le résultat le moindre et par conséquent plus exact. Peur trouver la valeur de -jjà laquelle doit avoir lieu le changement de formule, il faut faire P= P' et résoudre l'équation par rapport à jj. On a ainsi :
^ = l\^^{i'h?ii^nga)-{i-ntanga)\ (19)
