LIVRE I — PUINCIPE DE LA MOINDRE RÉSISTANCE. fi

directions suivant lesquelles les rails résistent, et inversement AC, A'C les directions des pressions du vagon sur les rails ; AB, A'B' les normales communes aux rails et aux bandages aux* points de contact A,A'; (pTangle de frot- Fig.

tement de la matière du bandage sur celle des rails, soit arc tang./,/ étant le coefficient de frottement pour les matières dont il s'agit

(en moyenne 9=16** -, tang. 9=

A cause delà position symétrique du vagon, la verticale DSK partage en deux parties égales rhorizontale A A', et les lignes CA et G' A' font des angles égaux avec cette verticale. Par le principe delà moindre résistance, les lignes CA, C'A', suivant lesquelles résistent les rails, seront aussi près de la verticale que possible, de manière à rendre minimum la poussée horizontale contre les rails, qui s'exerce de dedans en dehors* Mais ces lignes CA, C'A' ne peuvent pas faire avec les normales BA, B'A' un angle plus grand que 9. Donc CAB=C'A'B'=:^(p.

Comme on connaît par les dimensions du vagon et des rails les points A, A' aussi bien que la courbure des champignons en ces points, et par suite la direction des normales AB, A 'B', on aura par la relation qui précède les directions de» réactions CA,C'A', connaissant seulement Tangle ç.

Soit D le point où les prolongements de CA etU'A' rencontrent la verticale DSK. On fait DE=SW= W, poids du vagon, et on décompose DE, par le parallélogramme des forces, dans les composantes DF,DF'; celles-ci représentent la pression qui s'exerce en A, A' et dans les directions AC, A'C contre les rails.

Les composantes horizontales et verticales de DF, DF'sont respectivement GF, DG, GF',DG. Chaque rail reçoit une pression verticale DG=|W, et une poussée horizontale GF=GF' de dedans en dehors. Celle-ci n'^st nulle que quand les verticales menées par A et B font avec AB, A'B' des angles inférieurs à l'angle du frotte-

ment ; cela aura lieu certainement si la surface de contact en A, A' est horizontale.

Si les directions AC, A'C rencontrent la base des rails eux-mêmes, le poids du vagon donnera lieu à une tendance au déplacement du *rail sur son support, mais non au renversement ou retournement du rail. Ce dernier mode d'effort se produirait au contraire si les directions AC, A'C étaient assez peu inclinées pour atteindre le niveau des supports en dehors du pied des rails.

On a remarqué plus haut qu'un vagon au repos peut avoir aussi une position non symétrique sur les rails. Cherchons les limites extrêmes du déplacement latéral possible. Si le vagon est poussé de droite à gauche par rapport à une position symétrique, le contact s'établira (flg. 12), d'après la forme généralement en usage pour les rails et les bandages, entre des parties plus inclinées du côté gauche, et du côté droit entre des parties moins inclinées des bandages et des rails, de sorte que la normale AB à gauche se rapprochera de l'horizontale, et A'B' à droite de la verticale.

Si, en continuant à pousser le vagon, on s'approche de la position au delà de laquelle le vagon ne peut plus être en équilibre,

mais revient nécessairement de gauche à droite, la ligne GA de la réaction du rail à gauche passe au-dessous de AB, tandis que C'A ' à droite passe au-dessus de A'B'.

Par le principe de la moindre résistance, les réactions CD, C'D'seronttoujours aussi inclinées que possible. Donc l'angle CAB, qui ne peut être plus grand que ç, sera toujours égal à ç, tandis que C'A'B' sera plus petit que y. Dès que la limite extrême de l'équilibre possible est atteinte, le dernier angle C'A'B' devient aussi égal à ç. En dépassant cette limite, l'angle CAB demeurerait, il est vrai, égal à y ; mais C'A'B' deviendrait plus grand que 9. Dans ces circonstances il n'y a pas d'équilibre possible; le vagon glisse de gauche à droite et demeure dans la position limite où CAB =C'A'B'=9.

Fig. 12.

LlVllE I. — PRINCIPE DE LA MOINDRE RÉSISTANCE. 21

Connaissant la forme du rail et du bandage et la grandeur de l'angle du frottement tp, on peut obtenir à chaque instant la position limite, ci-dessus définie, du vàgon. Pour cette position la ligne de réaction CA doit être au-dessous de la normale BA, l'angle CAB doit être égal àç ainsi que C'A'B'; enfin les prolongements CD, CD' de ces deux lignes de réaction doivent se rencontrer sur la verticale SK qui passe par le centre de gravité S du vagon. Dans le déplacement et Tinclinaison correspondante du vagon, le centre de gravité S conserve bien sa position relativement au vagon, mais non relativement au rail ; il faut tenir compte de ce changement. On trouvera ainsi la position du point d'intersection D des trois lignes CD, CD et SK. Ce point D se trouvera soit au-dessus, soit au-dessous du centre de gravité du vagon.

Si l'on ne connaissait pas l'angle de frottement, on pourrait obtenir pratiquement les points D, A, A', en poussant le vagon latéralement jusqu'à ce qu'il commençât à revenir. On observerait les points A, A' correspondant aux positions limites, et l'on aurait les normales AB, A'B'. On tracera ensuite CD, CD de manière qu'elles soient toutes deux à droite des normales AB, A'B', qu'elles fassent avec ces droites des angles égaux, et qu'elles se coupent sur la ver- ^'• ticale qui passe par le centre de gravité.

Ayant le point D, on fait DE = W, poids du vagon, on décona^ pose ce poids en ses deux composantes DF, DF' suivant les directions DC, DC:ces composantes représentent les pressions que supportent les rails aux points A, A'.

Lorsque les lignes AG, A'C atteignent l'arête extérieure de la base des rails ou la dépassent, il se produit un effort de déplacement ou de renversement des rails. p,g^ ,3

Le point D, dont la position est importante, ainsi qu'on le verra par la suite, peut êtriB amené à la hauteur qu'on veut par une forme appropriée tant des rails que des bandages. On peut donc faire en sorte qu'il soit plus haut que le centre de gravité ou plus bas. On abaisse le point D le plus possible en employant des rails à tête aplatie, à forte courbure sur les côtés, ètdMfe bandages à boudins très-inclincs (fig. 13). On l'élève le çki^

22 STABILITÉ DES CONSTRUCTlOxNS.

possible avec des rails très-bombés de la tête et des bandages dont

les boudins ont des courbes de raccordement, adoucies (fig. 14).

Le centre 4e gravité du vagon s'élève quand on le charge : si donc

Fig. 14. le pointD est déjà au-dessous du centre

de gravité du vagon vide, il sera à plus

forte raison au-dessous du centre de

gravité du vagon chargé. Si le point D

est au-dessus du centre de gravité du

vagon vide, il peut se faire néanmoins

qu'il se trouve au-dessous du centre

de gravité après le chargement.

Considérons maintenant Faction de la force centrifuge sur un vagon marchant en courbe. Soit Z la valeur de cette force qui agit liorizontalement , appliquée au centre de gravité du vagon. Si Ton fait ui^ rectangle sur W et Z (fig. 15),

la diagonale de ce rectangle SP=K W*H-Z*=P est la résultante Fig. 15. de toutes les forces agissant sur le

I vagon, laquelle doit être tenue en équilibre par la réaction des rails.

Donc les directions de ces réactions doivent se rencontrer en un seul et même point de la direction SL I de cette résultante.

11 est plair que le vagon, tendant I à s'écarter suivant la tangente, se déplacera latéralement sur les rails, autant qu'il sera possible. On peut se demander .s'il y aura encore pour le vagon soumis à cette influence additionnelle de la force centrifuge une position extrême contre les rails, ou si au contraire le vagon déraillera par l'effet de la vitesse acquise ; dans le cas où il y aurait une position extrême, on peut se demander aussi si cette position est en deçà ou au delà de la position limite d'un vagon au repos.

Soient A, A' les points d'appui pour la position extrême d'un vagon au repos; les angles CAB, C'A'B' sont égaux à l'angle de frottement ç. Conservons au point D la signification connue, et supposons d'abord que le point D se trouve au-dessous du centre de gravité S du vagon. Alors la direction de la résultante 'J8P