LIVRE I. — PRINCIPE DE LA MOINDRE RÉSISTANCE

coupe la ligne CD en un point E situé, par rapport à D, du côté de A. Concevons que A, A' soient deux points d'appui possibles du vagon, E sera le point d'intersection commune des réactions en A, A' et de la force P.

Mais si Ton mène par E et A' la ligne EF, on voit facilement que Tangle FA'B' est plus grand que C'A'B', c'est-à-dire plus grand que ç. Donc il devrait se développer sur les rails dans la direction EA' une pression faisant avec la normale A'B' un angle plus grand que y : le vagon ne pourra donc rester en équilibre. Il marchera, non de droite à gauche, mais de gauche à droite, de sorte qu'il rentrera vers l'intérieur du rail, et que le point E remontera sur la ligne SL : sans quoi l'angle FA'B' ne pourrait qu'augmenter.

Ainsi, dans le cas où le point D est au-dessous du centre de gravité S, il y aura une position .limite pour laquelle le vagon continue sa marche sur la courbe. Mais ce qui est le plus remarquable, c'est que cette position limite est moins éloignée de la position symétrique que ne l'est la position limite répondant au cas du repos parfait. Plus la force centrifuge sera intetise, plus le vagon se rapprochera du milieu du rail, ou moindre sera t effort de la roue extérieure pour sauter par-dessus le bord du rail correspondant.

Quelque paradoxale que paraisse cette proposition, elle est exacte, mais il faut se garder de la mal comprendre : elle n'établit pas que la poussée horizontale contre le rail extérieur diminue quand la force centrifuge augmente, ce qui serait absurde, mais que l'effort de la roue pour monter sur le rail extérieur diminue \

Un vagon ainsi construit peut sortir des rails, si la force centrifuge augmente sufiSsamment par une vitesse énorme ou une courbure trop prononcée, de sorte que la direction SL de la résultante P tombe à gauche du rail A ; mais alors il tournera autour du rail A comme axe de rotation dans sa chute. Il faudrait d'ailleurs

* On trouvera aussi dans les Annales des Ponts et Chaussées un théorème intéressant démontré par M. Reynard (1843, 2* semestre), lequel établit qu'un vagon à quatre roues, reposant sur les rails avec un certain jeu, se tient, dans la marche en courbe, d'autant plus près d'être parallèle à la tangente à la courbe, ainsi se rapproche d'autant plus du rail extérieur par ses roues de derrière, et par conséquent parcourt la courbe avec d'autant plus de facilité que la force centrifuge est plus grande, (Note de V auteur,]

pour cela une vitesse prodigieuse ou une courbure singulièrement roide ; la pratique ne peut présenter le cas dont il s'agit.

Inversement on peut énoncer la conclusion suivante : Si un vagon au repos, amené préalablement à sa position d'équilibre limite, puis tiré horizontalement en dehors, en son centre de gravité et avec une force constante, commence par glisser avec le point A en se rapprochant du milieu du rail, puis se renverse en tournant autour du rail A ; alors on sera assuré que ce même vagon ne pourra pour aucune vitesse dérailler dans les courbes en montant par ses roues extérieures sur les rails, et de plus aucune des vitesses usitées dans la pratique ne pourra le renverser de la manière décrite ci-dessus.

Admettons maintenant que le point D soit au-dessus du centre de gravité : soit s ce centre de gravité, 5to=Wle poids du vagon,

52=Z la force centrifuge, sp=y W^-\-Z^=P la résultante de ces deux forces. Le prolongement de sp rencontrera cette fois CD en un pointe situé au delà de D. Considérons encore A, A', qui correspondent à la position limite du vagon au repos, comme les points d'appui du vagon soumis à la force Z. L'efiFort exercé en A' devrait être dirigé suivant la ligne e/ qui passe par A'. Mais on voit que /A' D'est plus petit que ç, si même il n'arrive pas que A'/ passe à gauche de A'D'. Puisque l'inclinaison de la réaction du rail A' n'a pas atteint son maximum, le vagon n'est pas encore dans une position limite. U peut prendre une position plus déviée vers la gauche, pour laquelle le point € descendra le long de el.

D'après cela, dans la course en courbe la traction suivant la tangente fera naître une tendance à atteindre la position limite ; le vagon dépassera donc, même pour la courbe la plus aplatie, la position limite répondant au repos. Ces limites nouvelles, qu'on peut déterminer par le même principe, comme on a déterminé les limites du repos, varieront avec les vitesses et les rayons de courbure, ou directement avec la valeur de la force centrifuge. En général, un accroissement de la force centrifuge entraîne une position limite plus écartée, une montée plus considérable de la roue sur le rail extérieur, et l'on se rapproche du déraillement.

Tant que le point <?, qui se déplace continûment, demeure audessus du centre de gravité, les mêmes considérations trouvent leur application. En supposant des têtes de rails suffisamment courbes