SECTION B
ÊQCfLlBHE DE ROTATION DANS LE CAS DE CHARGES VERTICALES ET HORIZONTALES SYMETRIQUES.
§ 33. Gonstruction de la courbe des pressions répondant ài des charges verticales et liorizontaîçs.
Supposons qu'indépendamment des charges verticales une voûte soit sollicitée par des efforts horizontaux extérieurs, comme il arrive communément par la pression latérale d'un massif de terres : les propriétés des courbes des pressions, telles que nous les avons exposées, n'en sont nullement modifiées , si Ton se restreint aux cas pratiques.
Si, pour la construction d'une courbe des pressions, la poussée horizontale n'est pas une des données, on la calculera comme il suit : ^.|^.g3. Soit AB (fig. 63) l'horizontale
qui passe par le point le plus haut A de la clef, et prenons A pour origine des distances horizontales et verticales ; soit Q la poussée horizontale, q sa distance verticale au point A; N un point quelconque de la courbe des pressions y. A; ses coordonnées NC, AC; P le poids de la portion de voûte avec sa charge verticale ; p la distance horizontale du centre de gravité de cette masse au point A ; T la force horizontale extérieure qui agit sur cette portion de voûte; t la distance verticale dç son point d'appli-» cation au-dessous de l'horizontale AB.
Pour un autre point N' de la courbe, A demeurant Torigine, on aura les quantités homologues g'', A', P^, p% T^, t'. Posons pour abréger :
g—p=:za et g'-^p'=za'
h—tz=^c et h'—t'=c'
L'équation des moments prend la forme
(1) 6Q=aP + cT,
Si le point d'application M de la poussée est connu, q est connu : Q est donné par (1), d'où l'on tire
Si Ton donne deux points N, N' de la courbe, on joint à (1) l'équation correspondante.
(3) ô'Q=«T'+cT'.
De (1) et (3) on tire Q et q.
Pour construire la courbe des pressions cherchée pn formera, outre le tabîèau décrit au paragraphe 24 pour les forces verticales, un tableau semblable pour les forces hoi4zontales, en prenant soiq de faire correspondre ces dernières aux joints préalablement corrigés en vue des forces verticales.
On aura ainsi toutes les valeurs nécessaires de P et T et de leur§ bras de levier jo et t. On composera pour chaqujei joint les forces de P et de T correspondantes ; on aura les résultantes partielles, qui seront à leur tour composées avec la poussée Q, pour obtenir les points de la courbe des pressions par l'intersection de ces résultantes, de P, T, Q avec les joints correspondants.
Les paragraphes suivants éclairciront ce que noi^s venons de 4ire, au moyen de quelques exemples.
§ 34. Premier exemple. Le tunnel sous la Tamise.
Le tunnel sous la Tamise est formé, depuis le radier jusqu'au sommet , d'une voûte continue dont la partie supérieure est un plein cintre de 4'",32 d'ouverture et 2", 16 de flèche, et dont la par-
106 STABIUTÉ DES œNSTRUCTIONS.
tie inférieure est tracée avec un rayon intérieur de 8° ,61. Chacune des parties de la voûte a environ 0",94 d'épaisseur, mais le plein cintre supérieur est formé de trois rouleaux concentriques sans liaison entre eux, de 0'",31 chacun (fig. X à la fin du volume).
A parler rigoureusement, à chacun des trois rouleaux répond une courbe des pressions spéciale ; mais nous ne pouvons évaluer exactement la partie de la surcharge afférente à chaque rouleau : nous sommes donc obligés de les considérer tout simplement comme une masse parfaitement liée, et de calculer la courbe des pressions en conséquence.
Le terrain au-dessus du tunnel et Teau de la Tamise exercent sur la voûte une pression correspondant à une charge de 7" ,54 de hauteur formée de matériaux semblables à ceux des voussoirs. Pour ne pas compliquer le dessin, on n'a pas laissé subsister les verticales représentatives de la charge.
Pour construire la table des efforts verticaux, nous partagerons le quart de circonférence supérieur et sa surcharge en six parties ayant respectivement pour largeur 0,90 ; 0,63 ; 0,63 ; 0,31 ; 0,31 ; 0,31. La partie de voûte située au-dessous des naissances du plein cintre sera divisée en quatre segments ayant pour largeur Tép^eur de la voûte, soit 0,94, et dont les bras de levier seront les distances de leurs centres de gravité ànixe vertical du tunnel.
Pour obtenir les masses qui doivent servir au calcul des forces horizontales, je mène, par les points de rencontre de l'extrados et des joints ci-dessus définis, des horizontales qui coupent la verticale AB aux points a; ô, c, rf, . . . Les segments Ka, ah y bcycd...^ sont les hauteurs des faces extérieures des segments consécutifs de la voûte. La poussée horizontale extérieure sur le deuxième segment de voûte, par exemple, poussée qui résulte de la surcharge, est égale au produit de la hauteur ab du segment de voûte par la hauteur de charge sur le milieu de ab^ et par le coefficient /, qui dépend du talus naturel du terrain dont il s'agit.
Dans cet exemple et les suivants, nous admettrons que ce talus naturel est de 30 degrés. On a alors
/=tang«('j-|)=tang^30^ = ^.
Les bras de levier correspondant à ces forces horizontales sont les * Voir, pour la démonstration, le paragraphe 69 ci-après.
distances verticales des points mîKeux A, /, m, n,... des segments ka, ab, bc, cd^ ...h. Thorizontale AC, qui passe par le point le plus haut de la clef.
On forme ainsi les deux tableaux suivants :
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