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Oôté droit

KURCES û

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SOJI Numéros.

MVS PARTIELLES

oTii

On constmit ensuite une courbe d'essai passant par les points intérieurs des naissances et le point le plus haut Â de la voûte.

Les coordonnées des deux points aux naissances sont : ^, =: 3,14; h^ = 3,61 , et y, = 2,07 ; A, = i ,22. Le poids de la partie gauche P, = 16,tt6 ; son bras de levier/>, = 2,02 ; le poids de la partie droite P^ =9,33 : son bras de lc\ier />. = 1 ,23.

LlVftE II. — THÉORIE DES VOUTES. 151

D'où Ton tire :

^.=i7.-;>.=3,14— 2,02=1,12; rf =^.+^,=2,07+0=2,07 ; «a=i7.—Jf>.=;2,07— 1,23=0,84 ; <=S',—y.=3,U— 0=3,14 ;

«?.=yi+i7.=3,14+2,07=S,21

«,=^.—^,=3,61— 0=3,61 ; Pa=9,33;

p ^^i^i-'Oifit^% 1,12 1 ,22 16,66 --0,84.3,14.9,35 ^ .^

^«''«-eA 3,61.5,21-2,39.3,14 '

ç. aidiVi-ha^d^?t __ 1,1 2. 2,07. 16,66-*- 0,84. 5,6. 9,33 » o,

et/d^ — HUi 3,61.5,21 — 2,39.3,14 ' '

Le calcul donnç ici pour la composante verticale P une valeur négative, d'où il smt qu'en son point d'application A elle est dirigée de haut en bas ; en établissant nos formules, nous avons admis en effet que cette force était comptée comme positive lorsque, agissant du côté droit de la voûte sur le côté gauche, elle était dirigée de bas en haut.

En conséquence, pour construire la pression S qui r^ne au sommet A, on portera sur la verticale de ce point, et au-dessus de lui, la composante P;=AB, qu'on composera avec l'horizontale Q=AC, ce qui donnera en grandeur et en direction la force S=AD. La construction de la courbe s'ensuit comme précédemment.

Cette courbe, du côté droit, demeure d^ns l'épaisseur de la voûte; du côté gauche, elle est en grande partie en deborB, de sorte ([ue, pour avoir la vraie couj'be des pre»iionii^ U bat recommencer le calcul en faisant passer la courbo imr l9 point intMeur du joint de la culée droite, par le point supérieur A du joint M sommet et par le point intérieur du cinquièma jwnt du eôté gauche.

Les coordonnées de ce dernier point sont g^ = 2" ,51 , A, ?^ 1 ,70 ; le poid§ du segment qui 8*appuie sur ce joint, charge comprise, est P4 = H ,63 ; son bras de levier p^ =al ,S0 ; les autres nonû)res sont les mêmes que dans le premier calcul. On a donc :

«.=Sfi— Pi=2,ol-1,50:x=1,0l; d,=Sf.-Hf,=2,07; e.=/i,-;i,=1,22; «.=fl^t -rt=0,84 ; d,=y, -sf,=2,51 ; e.=fc,— ;i,=l,70 ;

rf.T=flfi+Sf.=*»S8; ^,=/i,-/j,=0,48.

p gi^Pj - /it^aPj 1 ,01 1 , 22 ■ 1 1 ,03 » 0,84. 1 ,70.9,33 ^ .q

V/s-fjr/, ~" 1,70.4,58-0,48.2,51 ' '

J52 STABILITÉ DES CONSTllUCTIOSS.

n ^WA+^A ^ 1,01.2,07 11,65 •+•0,84.2,51 .9,53 a -- ^■^ V»-^i^i 1,70.4,58-0,48.2,51 — 0,'^-

Ce calcul donne pour U composante verticale une valeur positive AB', qui, portée au-dessous de A vers B' et composée avec l'horizontale Q = AC, détermine la direction et la grandeur de la nouvelle force S = AD'.

La ligne ainsi construite demeure comprise entre les courbescontours, les touche, comme on s'y attendait, en deux points et rencontre rintrados à la naissance du côté droit. On peut la considérer comme la vraie courbe des pressions.

§53. Remarques sur les changements qne la courbe dei pressions éprouye quand on ajoute & la charge un poidi isolé.

11 est intéressant pour la pratique de considérer, les changements

qu'éprouve la vraie courbe des pressions quan^ ou établit un poids

isolé en tel ou tel point de la voûte.

La théorie générale que nous avons exposé^ permet de constniiie

facilement la courbe répondant h ce cas ; il serait trop long d'énunjî. h8 mérer toutes les appa-

rences qui peuvent se produire. Nous allons toutefois énoncer quelques propositions générales en les appliquant à un cas particulier choisi comme exemple et comme type ; nous laissons au lecteur le soin d'en

trouver les démonstrations, lesquelles se déduisent aisément des

propriétés de la courbe des pressions,

Soït INMLK la forme spéciale de la vraie courbe des pressions

dans la voûte ABDC (fig. 88), dans laquelle le point extérieur F,

du joint de rupture se trouve à droite de la verticale AF, menée

\^ar le point A.

Si l'on place un poids S en un point quelconque situé entre B et F„ la poussée horizontale de la voûte n'en sera pas changée, quel que soit ce poids : cela n'augmentera que la composante verticale de la pression sur la face AB, et par suite la partie de la courbe des pressions située à gauche du poids additionnel se rapprochera de la verticale suivant laquelle agit ce poids. Si le poids S était, par exemple, appliqué en F,, on aurait, pntre les joints AB et E,F,, la courbe ihg^ laquelle couperait manifestement la courbe KMI en un point h pîacé sur la verticale du point F,; au delà du joint F,E,, '^ancienne courbe KMN ne changerait pas, et c'est ainsi la ligne KMN^Az qui satisferait à la condition du minimum de poussée.

Si le poids S occupe une position quelconque entre F, et F,,

®aîs qu*il soit assez faible pour que, en conservant la partie de la

^Urbe à droite de S, la partie de courbe située à gauche , et qui

^'^^nge nécessairement, ne vienne pas sortir de l'intrados, ce que

flOus disions dans le cas précédent s'appliquera encore.

^lais si l'intensité de S augmente , la poussée horizontale augï'^entera, et avec elle Fis. s».

changera la figure de ^courbe des pressions dans toute son étendue. Dans ce dernier cas, supposons pour Un moment que la pression de la culée CD conserve sa valeur et son point d'application K; nous aurons alors (fig. 89) une courbe telle que ghi pour la continuation de la courbe, à gauche du joint EF, dont l'extrémité F est le point d'application du poids S. D'après ce qui précède, ghi coupera l'intrados. Cette courbe ne saurait être la vraie courbe des pressions. La véritable doit couper la première une fois entre L et M, une seconde fois entre M et N, et en outre satisfaire à la condition du minimum de la poussée horizontale. Elle aura donc la forme K'L'M'E'F'NT, et ainsi les points de rupture L, M, N reculeront simultanément vers la gauche en L', M', N'. Il en résultera toujours une augmentation jle la poussée, attendu que K'M'l' se trouve placée entre la pr©

154 STABILITÉ DES COiNSTHUCTlONS.

courbe KMi et la droite qui passe par leurs points d'intersection.

Si le poids S est appliqué entre les deux points F, (fig. 88), extrémité extérieure du joint de rupture, et F„ point de l'extrados placé verticalement au-dessus du point intradossal du joint de rupture F.N, il faut distinguer deux cas : si le poids S demeure assez petit pour qu'en conservant la partie de courbe à droite de S, la partie gauche nouvelle demeure dans l'épaisseur de la voûte, il s'ensuivra un changement de la courbe des pressions, mais ce changement répondra à une diminution de la poussée. Cette assertion, surprenante au premier abord, se justifie par cette considération, que, dans la première courbe tracée pour correspondre au poids S sans changer la poussée, il n'y a que deux points de contact avec le contour de la voûte, puisque la partie à gauche de S n'atteint pas ce contour. En passant de cette courbe, qui ne satisfait pas aux caractères du minimum de la poussée horizontale, à la vraie courbe des pressions, les deux points de rupture M, N reculent simultanément vers la droite, d'où résulte une courbe correspondant à une moindre poussée.

Si, au contraire, le poids S, situé comme ci-dessus, est assez fort pour que la branche nouvelle de la courbe Kl, tracée régulièrement vers la gauche, coupe l'Intrados, il y a nécessairement un changement de la vraie courbe des pressions, lequel correspond à une poussée plus grande, puisque les points de rupture s'avancent vers la gauche, comme nous l'avons vu dans le cas où la force S est appliquée entre F, et F,.

Si l'on place le poids S en un point quelconque entre F^ et M (en supposant expressément que le joint vertical E^F^ est à droite du point M de rupture), le prolongement de la courbe KM à gauche de S, régulièrement construit, coupera nécessairement l'intrados : de sorte que, si petit que soit S, la vraie courbe des pressions sera telle que les points de rupture L, M reculeront vers la gauche, et ainsi la poussée augmentera.

Si F^ était à gauche de M, nos dernières observations ne s'jappliqueraient qu'à la partie comprise entre F, et F^. Mais, revenant h la première hypothèse où F^ est à droite de M, on doit encore considérer le cas où le poids S est appliqué entre M et F^. Alors le prolongement de la courbe KL, à gauche de S, coupera toujours l'intrados, mais aussi s'éloignera tout à fait de l'extrados, de telle sorte que cette courbe n'aura plus avec le contour qu'un seul point

LIVttE 11. - THÉORIE DES VOUTES. loa

de contact L. Si maiutenant S est suffisamment petit, la vraie courbe des pressions, coupant la précédente une seule fois entre K et L et touchant les limites de la voûte respectivement à droite deL, M, N, répondra à une poussée moindre que la précédente KMI. ' Si, au contraire, le poids S est assez grand, la vraie courbe des pressions coupera la première deux fois à gauche du point L, en sorte que le point de rupture L marchera vers la gauche , les points de rupture M, N à droite, et la poussée augmentera.

Dans le cas particulier où le poids S serait appliqué juste sur le point F^ du joint vertical, on n'aurait qu'à répéter les considérations précédentes, si la charge entière S rieposait sur une seule demivoûte ABF^E^. Si, au contraire, ce poids repose pour moitié sur chacune des demi-voûtes, on devra considérer Faction de deux poids

simultanés de ^ S chacun, et agissant chacun sur une demi-voûte.

Ainsi, on ne pourrait essayer de conserver la partie droite de la courbe primitive pour lui donner un prolongement vers la gauche,

eu égard au poids ^ S. Par suite de la répartition de S, la gauche

et la droite de la courbe vont changer simultanément. Mais il est facile de reconnaître que, pour une petite valeur de S, on aura toujours une diminution de la poussée, et une augmentation pour une valeur suffisamment grande ; et cela soit que F^ tombe à gauche 3U à droite de M, pourvu que m. so.

zes deux points ne coïncident pas. Mais, en cas de coïnci- Jence, un poids S appliqué en F^j si petit qu'on voudra, fera ;nttre la poussée.

Nous n'avons pas à détailler es effets d*UQ poids S appliqué i droite du joint vertical E4F4 ; )n n'aurait qu'à reproduire la discussion précédente en rappliquant L la partie droite de l'arc.

Si l'on imagine un poids S infiniment grand appliqué en un point quelconque F (fig. 90), la vraie courbe des pressions affectera évidemment la forme KLFNI, où FK et FI sont deux droites tangentes à l'intrados en L et N, et déterminent sur les joints de cuées les points d'application K, I des pressions dont les composantes, ant horizontales que verticales, sont infinies. Ceci suppose toutefois

que le point F est compris entre les vertical^ des points A et C. Si le point d'application du poids infini S était à gauche de la verticale AG, comme en /, la vraie courbe des pressions affecterait la figure klmnfi^ dans laquelle fi est une verticale, nmlk une courbe. Dans ce cas, le point i seul transmettrait à la culée AB une pression infinie, la pression en k sur CD serait au contraire finie, et sa composante horizontale égalerait la poussée de la voûte ainsi que la composante horizontale de Tinfinie pression en i.

Supposons que la voûte ABDC soit un anneau circulaire. Menons la verticale AG, et soit GH tangente au cercle intérieur : GH passera en D, si AB=CD=| AG. Cela étant, on voit facilement que

toutes les tangentes à l'intrados qui rencontrent l'extrados en des points compris entre les verticales A et C, seront tout entières dans l'épaisseur de la voûte.

D'oîi il suit qu'un semblable anneau demi-circulaire, dont l'épaisseur égale la moitié du rayon intérieur, ne peut être détruit par rotation des voussoirs par aucun poids vertical, si considérable qu'il soit, pourvu que les culées aient une résistance suffisante.

On peut rapprocher de ce résultat cet autre résultat connu, d'après lequel l'épaisseur d'une voûte en plein cintre non chargée doit être au moins \ ou 0,114 de son rayon intérieur pour la

stabilité contre la rotation.

Enfin, il ne sera pas déplacé défaire remarquer la complète différence d'action d'une partie de voûte telle • pî«- »i. queABDG(fig. 91), suivant qu'elle forme une partie, par exemple une moitié d'une voûte plus grande , ou qu'elle s'appuie contre deux surfaces fixes à ses deux extrémités AB, CD. Dans le premier cas, ABDG étant demi-voûte, la pression en CD est toujours horizontale, et la vraie courbe des pressions, comme DNI, ne traverse qu'une fois l'épaisseur de la voûte. Dans le second cas, où CD est une surface incompressible comme AB, la pression en CD n'est pas ordinairement horizontale. La vraie courbe des pressions, comme CM'NT, traverse deux fois l'épaisseur de la voûte, et la poussée horizontale est moindre que dans

le premier cas : en effet, la courbe DNI, qui est dans les deux cas une courbe possible et qui n'est la véritable que dans le premier cas, se trouve entre la courbe CM 'NT et la droite qui joint les points d'intersection des deux courbes.

§ 54. Équilibre de rotation pour des charges verticales et horizontales.

S'il se joint des forces horizontales aux charges verticales considérées jusqu'ici, cela n'aura pas d'influence grave sur les propriétés ci-dessus énoncées de Fîg. 92.

la courbe des pressions, au moins dans tous les cas pratiques.

Conservons pour ce zas les notations du paragraphe 50 ; 'nommons en outre (fig. 92) :

la composante hori2ontale de la pression S agissant à la clef;

QS (ï\ Q"^ les composantes horizontales respectives des pressions aux points I, E, L;

T,, T, T,, les forces horizontales agissant respectivement sur les voaflsoits fictifs CI, CK, CL, et ^,, ^„ /„ les distances de ces forces iMpéctives à l'horizontale ACB. Posons enfin, pour abréger :

.,-J^,a les relations :

' V P'-P = P. (2) «.P. + y,P + cX = *.0 (6)

Si le troisième point L de la courbe des pressions est au joint du sommet C, la valeur de q est donnée aussi, et

158 STABIUTK DES CONSTRUCTIONS.

On tire alors, pour les composantes P et Q de la pression S, d équations (S) et (6) :

p = ^«(^i^ + giTi) -àj (a,P»H-r,T,) .gx

«A— Ml ^

Si L n'est pas à la clef, on obtient :

M»-Mi ^ ^

On a toujours, pour les composantes des pressions en I et K :

Cîonnaissant la pression à la clef, on construira la courbe des pressions à partir de la def de chaque cAté, en procédant comme au cas précédent.

§ 55. Exemple d'une voûte de pont du chemin de fer de Berg et Mark.

Nous avons déjà choisi cette voûte pour exemple, aux paragraphes 29 et 35, mais en supposant toujours une charge symétrique, comme cela a lieu après Fachi^vement du remblai établi sur le pont. Nous admettrons ici, au contraire, que ce remblai (fig. XVII à la fin du volume) ait atteint du côté A la hauteur totale de 25", 12 en couche continue, que la couche de Tautro côté B n'atteigne que la hauteur de lâ^^'îfi, de sorte que la charge existant sur la voûte forme une figure dyss) métrique limitée par la ligne inclinée AB.

La voûte est en plein cintre, de M", 30 douverture et deO",94 dVpaisseur. r.hacun des deux demi-arcs est partagé, ainsi que la

chaige correspondante, à partir du sommet, en huit parties, dont les six premières ont une largeur de O^jOi, les deux dernières une largeur de O^ji? ; les tableaux nécessaires pour le calcul s'établissent ainsi :

Gâté eauone

FORCES

VKRTiCA

LES lÏLKlIËNTAlFltS

SOIU

MKS i'AllTlELLKEÎ

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