DES CINTRES
§ 57, Principes de la théorie des voûtes d'arête.
La théorie des voûtes d'arôte découle des mêmes principes qui servent de base aux voûtes en berceau considérées jusqu'ici. Nous nous dispenserons d'étudier complètement cette théorie, nous restreignant aux principes les plus utiles en pratique.
Divisons chacune des *'»« *3-
deux calottes, avec sa charge entre les arêtiers saillants, eq arcs élémentaires qui s'appuient par leurs extrémités contre ces arêtiers. On peut facilement éprouver , d'après ce qui précède, la stabilité d'un semblable élément de voûte, et évaluer la pression qu'il exerce sur l'arêtier.
Celui-ci supporte une semblable pression de chaque côté; on prend la résultante de ces deux pressions, qui sera généralement o bliq ue jci pourra être décomposée en forces verticale et horizontale^
STABILITÉ DKS CONSTKUCTKLNS.
Km. y\.
Toutes CCS composantes, auxquelles se joignent les poids des voussoii^ (le Tarôtier, forment un système de charges horizontale»
et verticales, qui peuvent ôtre employées pour l'évaluation de la stabilité de Tarôtier, suivant la méthode déjà exposée dans le présent chapitre.
En pratique, on procédera comme il suit.
En adoptant des notations analogues à celles du paragraphe 22, appelons:
r Pour Tarêtier (AB du plan, fig. 93; GHde l'élévation, lig. îit),
a la demi-ouverture, h la hauteur intérieure de l'ari-., c l'épaisseur verticale à la clef,
C la section de l'arc à la clef en mètres carrés (cette figure est, en général, non un rectangle, mais un polygone), Q la poussée horizontale à la clef, ^ la poussée moyenne par mètre carnS,
P le poids du quart de la voûte d'i^rôtq aveq sa charge (AECF du plan),
M le moment de ce poids par rappqrt à la naissance G de l'intrados dq l'arêtier, T la résultante de toutes les forces hol'izontales quç les deux calottes ( ADC^ Aie du plan) exercent contre le deraiarôtier AG, ou la résiultanto des poussées de ces calottes,
N le moment de cette force par rapport j au point G, »
€ l'épaisseur de la culée, mesurée en G, /■ la hauteur de la culée, y compris les fondements, mesurée audessous de la naissance,
r/ la hauteur totale de hi culée,
Fia. 95.
k répaîsseur de la culée normalement au plan de Tarêtier,
n le coefficient de stabilité de la culée;
2* Pour la calotte dans sa plus grande ouverture (AD du plan ,
. 93; G'H'de l'élévation, fîg. 95),
a' = ^ la demi-ouverture,
5' la hauteur intérieure de Tare (ordinairement égale à «'),
?' l'épaisseur de la voûte,
h' la hauteur de la charge de la voûte d'arête au-dessus de la
f, considérée comme arasée horizontalement, et réduite au .poids
icifique desvoussoirs de la calotte,
y la poussée horizontale.au sommet pour le bandeau G 'H' de la
otte, pris avec une largeur déterminée,
?' le poids du demi-arc G 'H' avec sa charge,
tf ' le moment de ce poids par rapport au point G'.
)n a, pour ce bandeau extérieur :
M' = ^VÇ(c.'+A')-Ç (ô'-hc'-f-ZO; (2)
)n peut évaluer, si c'est nécessaire, l'épaisseur c' de la calotte au nt de vue de la résistance des matériaux, comme on l'a vu au paraphe 22. Cette épaisseur, calculée pour la plus grande ouverture , suffit évidemment aussi pour tout autre élément de la calotte ju'en G.
Vnir un autre bandeau élémentaire quelconque, parallèle à ÂD, gaé du centre C de la voûte d'une quantité x' dans la direction \iSpx peut poser approximativement, en changeant dans {\) a' t^èti'en— ^, et admettant que Q' conserve sensiblement la 3|^t valeur :
: F'=^'+(c'+Av+c'(ç:+c'+//) (4)
!n ce qui concerne l'arêtier, les poids verticaux que les deux ittes ADC, Aie transmettent au demi-arêtier AC, poids repré-
sentes par Téquation (4), donnent par leur somme le pwds du | quart de voûte d'arête AEGF, Ce poids r '
P=2Ç? + a'»(c' + A') + aV[ô'+2(c' + A')]- (6)
Le moment par rapport au point (A, G) de ce poids est l'intégrale, entre les limites a?'=0 et a?'=«', des moments (les poids des bandeaux élémentaires d'épaisseur dx'. Or deuîç bandeaux élémentaires concourant sijr l'arêtier ont ensemble un poi^s 2P"<fe', dont
le moment est 2 a (1 — ^) ¥'dx' : d'où le moment total
Quant à la pression horizontale des calottes contre l'arêtier, les deux pressions Q''=Q', provenant des deux calottes concourantes, se réunissent en une seule Q' k^, agissant dans la direction GA. Si l'on admet que ces forces soient uniformément distribuées sur la droite GH, on aura pour leur somme
T=«Q'=j^^. [«^+'Ç(c' + A')-Ç(*'+C+A')], (B) et pour leur moments par rapport au point G,
Par rapport à l'extrémité extérieure de la base de la culée, le moment de la force horizontale T,
/T + N=,-r^ (/+ 1) [g+f (c+AO-^V+c^+AOl-ClO)
La poussée Q de l'arêtier est donnée par (6 + c) Q=M — N, d'où
Les équations (7) et (9) permettent ainsi de- calculer Q. - doifoei ensuite la pression par mètre carré au joint de la clef.
Pour calculer, dans un cas particulier, la hauteur verticale c de la section C de l'arêtier et cette section elle-même, on prendra, d'après les analogies delà pratique, deux valeurs approximatives de
cet G, et on calculera, par l'équation (11), Q et ?. On cherchera
ensuite dans la table du paragraphe 22, à la colonne de la poussée, la valeur de Q , et on vérifiera si la valeur de la poussée par mètre
carré, ^, concorde avec celle portée à la quatrième colonne. S'il
n'en est pas ainsi, on corrigera les valeurs de c et G, et on verra fecîlementdans quel sens il faut les faire varier.
Si la voûte n'a pas d'arêtiers distincts, comme il arrive dans les voûtes communes en briques, il n'y a naturellement plus à s'occuper de ces pièces, et ce qui précède est sans application. Mais cette circonstance ne modifie pas ce que .nous allons dire maintenant sur les épaisseurs de culée.
Exemple. On veut couvrir^ au moyen d'une voûte d'arête, un espace libre carré de 7", 54 de côté, ayant à ses quatre angles despi- Fig. 96. liers de 2" ,20 de hauteur. La voûte doit
être à arêtiers saillants et calottes demi-circulaires, et porter une charge de 1"*,26 sur la clef : trouver les dimensions de i'àrôtier et des piliers.
Les nombres à employer ici sont :
a=5»,34;i=3,77;fl'= 6'= 3,77; A' = 1 ,26 et e'î=: 0,47 , d'après le paragraphe 22 . Supposons, en outre, que la hauteur c de la section de Tarêtier soit égale à 0",94 sur toute son étendue, et sa largeur à 0", 71, en sorte que la section de l'arêtier G est (fig. 96)
0,71 X 0,94 — (0,47 X 0,16 4-0,105 X 0,105) = 0'nq,58. Les équations (1), (2), (3) donnent :
Les équations (6), (7), (8), (9) et (11) donnent ensuite : P=159; M = 280; T=65;N = 122; = 33,9.
Ainsi la pression par mètre carré à la clef est :
STABILITÉ DES CONSTKUGTIONS.
la table du paragraphe 22 donne en regard de cette pression une épaisseur de 0",98. Cette épaisseur diffère peu de celle que nous nous sommes donnée ; on peut donc conserver la première sans correction.
On obtient Tépaisseur e de la culée de Tarétier d'une voûte d'arête par réquation approximative des moments :
n(/-h4 + c)0=i^V^--heP-hM-(/T+N).
D'où il suit
^ = -~;-P-h [/2(/k [n {f'^b-hc) Q-^/T+N-MJ+q. (13)
Les quantités P, Q, M et /T-
Kig. »7.
• N ont là les valeurs tirées de (6), (H), (7), (10). Il sera convenable de ne pas donner au coefficient de stabilité n une valeur plus petite que 3 ; en effet, ces culées, qui êOûX génénkment» des piliers Hbres, sans butée, reçoivent ]a poussée réunie de toutes les parties de la voûte.
Exemple. Dans l'exemple actuel, la hauteur / du pilier est, en y comprenant la fondation, de 2"* ,20, et sa hauteur totale g est de 8'",16; ^épaisse^r /c, dans la direction normale au plan de l'arêtier, égale la largeur de l'arêtier, soit O",?!. En faisant le coefficient n= 3, l'équation (13) donne e=3™,58. Pour une largeur de piliers A:=l"*,26, 1"*,88, 2'",51, on aurait pour e respectivement 3,29 ; 2,98 ; 2,73.
Si, comme cela a lieu généralement, les culées ont la position (fig. 97) parallèle aux têtes de la voûte et une base carrée de côté e, on doit substituer dans l'équation (12), comme moment de la culée,
J^ ,3.e'y =0,707. e'y au lieu de^ e^f/k^ et dans le second membre
V'â. e = 1,414. e au lieu de e. On obtient ainsi Féquation du troisième degré
n(/*+ô+c)Q=0,707.yc' 4-1,414. eP-h M— (/T + N) (14).
Dans ce cas, on couvre ordinairement Tespace cornpris entre deux rtf culées consécutives par des voûtes en berceau de 2a' d'ouverture et " ^'de hauteur, qui encadrent la voûte d'arête. : Les quantités eP', eM', eQ' représentent le poids et le moment d'une de ces demi-voûtes et sa poussée contre le côté correspondant de la culée. Ces deux forces eQ', perpendiculaires Tune à l'autre, ont "ne résultante eQ' V2. On doit ajouter au premier membre de l'équation (14) le moment de cette résultante multipliée par w, par rapport au point inférieur 4e la culée, soit 1,414. n (/-f- A' -h^') ^Q'-
Les deux forces eP' se composent en une seule, 2eP', dont le bras de levier est
et le moment :
JL^>^\^'^y2. (?^jP'=2,121. 6>*F+ 1,414. e'SW
On doit ajouter ces deux termes au deuxième membre de l'équation (14).
Cette équation, ainsi complétée, devient :
w (/--h 6 +c) + 1,414. n{f'\-b' + c')eQ' .-=0,707, yé?' + l,414,eP-hM4-2,121. e'P'-t- 1,414. eM'
dans laquelle P, 0, M, (/T+ N), F, Q', M', ont les valeurs (6), (11), (7) (10), (1), (3), (2), Cette équation peut aussi se mettre sous lu forme :
ye' + 3PV+2[P-f-M' — «(/+6' + cOQ']e -1,414. [A^(/-h6-hc)Q+(/'^ + N)-M] = 0. (16)
Pour éviter la résolution exacte de cette équation du troisième
in STABILITÉ DES CONSTRUCTIONS.
degré, on peut employer la règle de fausse i)osition. Soient e„ e^ deux\aleurs approchées de e et F^jF^les valeurs correspondantes du premier membre de Téquation (16), lequel devrait être nul si la valeur de e était exacte ; supposons que F, soit plus près de zéro que F,, c'est-à-dire que sa valeur absolue soit moindre que celle de F„ en sorte que e^ est une valeur plus approchée que e,. Alors l'expression
est une valeur plus approchée de e que ne Test e,.
Si Ton veut (me plus grande approximation, on recommence le calcul avec les deux valeurs approchées e„ e^, qui donnent F,, F» ; d'où la nouvelle approximation :
Exemple. Appliquons ces formules au cas ci-dessus et substituons les valeurs calculées plus haut dans l'équation (14) ; prenons le coefficient w = 3 : on doit avoir
d'où e =:2'°,19, dans le cî^s où les esp?^ces entre les culées ne sont pas recouverts.
Si ces espaces sont recouverts, ou aura recours à l'équation (10), qui devient
e» + 5,08. e* — 1,22.6-36,9 = 0, d'où éf=2",31.
Si dans l'équation (15) on supprime d'un côté n (/+ 6+c)0» de l'autre les termes 1,414, eP, M et — (/T -hN), on obtient 4,414. n (/4-6'H-c')Q' = 0,707. ye'+2,121. eP' + l,4l4. M', équation qui convient à la détermination des culées des quatre berceaux qui relient les piliers, en ne tenant pas compte de la voûte d'arête, et qui donne e = 1"* ,98,
La culée d'un simple berceau décrit avec une ouverture de 7"',34, comme ces voûtes d'encadrement, exigerait, pour travailler sous le
coefficient de stabilité n==3, une épaisseur de 2", 42, d'après le paragraphe 23.
Mnsi quand on adopte le coefficient de stabilité «=3, une voûte d'arête ne donne pas lieu h des culées plus épaisses que le simple berceau. Il n'en est pas de même quand on considère la limite de Véquilibre (n = l) : dans ce cas, notre voûte d'arête sans encadrement exige (éqii. 14) e 5=0" ,91 ; la voûte d'arête avec encadrement (16) e = 0'",78; l'encadrement sans la voûte d'arête (17) e=0" ,38 ; enfin un simple berceau e = 0" ,52 .
En comparant ces diverses valeurs de e, il peut paraître étonnant que, dans tous les cas, l'épaisseur de culée d'un pilier isolé, sur lequel agissent à angle droit deux berceaux d'encadrement, soit inférieure à l'épaisseur de culée qu'exigerait un simple berceau, ou l'un de ces berceaux d'encadrement, s'il agissait seul. La raison en est que, dans le premier cas, la composition des forces en diagonales induit à multiplier le moment de résistante de la culéè par 1.^2 = 1 ,414, le moment des poussées horizontales nuisibles par le même ^efficient, maïs en même temps le moment des forces verticales
Utiles par le coefficient plus grand -, - =2,121 .
Pour l'équilibre limite, nous avons trouvé que notre voûte d'arête avec encadrement exige une épaisseur e=0,78, et le berceau simple de même ouvertures = 0,52. Ainsi, pour l'équilibre limite, la culée de la voûte d'arête a une fois et demie l'épaisseur de la culée du berceau. Ce résultat (qui, comme nous l'avons vu, se modifie pour d'autres valeurs du coefficient de stabilité) trouve une remarquable confirmation dans les expéftences pratiques faites sur des modèles par ïU>ndelet, et rapportées par cet aut€itir dans VArt de bâtir (liv. IX, sect. VI, chap. n). On y lit, en effet,'que, pour l'équilibre limite et sous la même ouverture, les épaisseurs des culées des coupoles, des arcs de cloître, des berceaux et des voûtes d'arête sont entre elles, approximativement, comme les nombres 1, 3, 4 et 6.
§ 58. Principes de la théorie des arcs de cloître.
Dans un arc de cloître ABCD (fig. 98), la plus grande poussée répond à la section de la calotte, normale aux génératrices j et passant
iU STABILITE DES CONSTRUCIIONS.
par Thorizontale FE. On calculera par conséquent l'épaisseur des calottes par les règles qui déterminent celle de l'arc FE, considéré comme partie d'un berceau simple.
Si les arêtes AC, BD sont dessinées par des arceaux d'encadrement, ce qui n'a pas lieu ordinairement, ces arceaux n'exigeront pas plus d'épaisseur que s'ils travaillaient sous leur poids et leur charge propre ; caria pression des calottes se transmet dans le massif même jusqu'aux culées, de telle sorte que les arêtiers n'en soient nullement affectés.
En ce qui concerne les culées, on réalisera le plus d'économie pos- Fig. 9«. sible en déterminant à chaque
point F, F' l'épaisseur FH, F'H', qui correspond aux poussées des arcs FE, F'E', qui s'y appuient directement. Les épaisseurs de ces arcs FE, F'E' eux-mêmes se déterminent par les règles connues.
Ce mode d'opérer conduit à une ligne courbe AHB pour la limite postérieure de la culée. Si l'on ne veut pas accepter cette forme dans l'application, il faudra composer ensemble toutes les pressions des bandeaux élémentaires de la demi-calotte AFE et cafculer l'épaisseur d'une culée à base rectangle, de longueur AF, résistante ces forces, dont les moments se calculent facilement. Soit en effet :
a la demi-ouverture FE du bandeau du milieu, b sa hauteur intérieure ou sa flèche, c son épaisseur en E, h sa charge en E,
P le poids de la denïi-calotte AFE,
M le moment de ce poids par rapport à l'arête AB iïes naissance«^, Q la poussée horizontale de la demi-calotte, q la hauteur de cette poussée au-dessus des naissances, e l'épaisseur de la culée,
/la hauteur de la culée au-dessous des naissances, (/ la hauteur totale de la culée, charge comprise, k la longueur AF de la demi-culée, H le coefficient de stabilité.
On a (§ 23) :
d'où
-- P -4- y^'^flk [n [[-+• g) Q - ftl] + pi
Si les culées ne sont pas contre-butées, on donnera au coefficient dp stabilité la valeur 3.
Dans l'application, on pourra se contenter du mode abrégé que voici. Soit e' = FH l'épaisseur de culée calculée d'après le paragraphe 23 pour Tare FEG considéré comme berceau simple. Considérons ensuite Tare HA comme une parabole qui a son sommet au point U, et transformons la figure FHÂ en un rectangle de même stabilité par rapport à Tarête FA. Prenant FA pour axe des x, FH pour axe des y, l'équation de la parabole est
Le moment d'une bande élémentaire F'H' est
et par conséquent le moment de la figure FHA est
2 lo
€ étant l'épaisseur du rectangle de même stabilité et -5- son
moment, on doit avoir
d'où e== 0,7303. e
ou sensiblement : e = ^e (3)
D'où il suit que la culée rectangulaire d'un arc de cloître doit être les trois quarts de celle d'un berceau simple de section droite FG : ce résultat confirme les expériences de Rondelet déjà citées au para-
graphe qui précède, et d'après lesquelles les épaisseurs de culée des coupoles, des arcs de cloître, des berceaux et des \oûtes d'arête sont, à ouverture égale, comme les nombres 1, 3, 4, 6.
§ 59. Principes de la théorie des coupoles.
Les auteurs qui ont traité la question des coupoles (Navier: Résumé des leçons sur t application de la mécanique , part. I, n" 349; Rondelet : Art de bâtir ^ liv. IX, sect. vi, chap. 2, etc.) ont comi. jg. 99 munément divisé la coupole
en fuseaux élémentaires limités par des plans méridiens et concourant au sommet, et appliquent ensuite à ces fuseaux les mêmes principes qu'aux berceaux à charges verticales et poussées horizontales. Or ce point de départ est tout à fait erroné. Il ne fait pas connaître l'influence des forces qui agissent sur une voûte de cette nature et il implique cette condition, impossible à remplir, que les matériaux supportent au sommet une pous- Ki. ,00 sée finie sur une arête infiniment
mince, soit une poussée infinie sur une surface finie.
Il faut au contraire diviser la coupole ABC (fig. 99) en segments concentriques DE, formés chacun d'une couronne de voussoirs reposant sur une base inclinée suivant un cône de révolution. Il faut tout d'abord examiner les conditions d'équilibre d'une semblable couronne, laquelle peut d'ailleurs former la partie supérieure d'une coupole ouverte par le haut. Il se développe dans ces couronnes des pressions horizontales /?, /?, dirigées normalement aux joints de la couronne, et plus intenses dans les couronnes supérieures que dans les inférieures.
Si Ton vient ensuite à considérer le fuseau CF limité par 4es méridiens, il faudra composer deux forces /?, p en une seule force horizontale t agissant du dedans au dehors (fig. 100)^
C'est ce système de forces horizontales, réuni aux poids et aux charges du fuseau méridien, qui conduit à la théorie spéciale des coupoles, théorie que nous allons traiter .dans les limites des besoins de la pratique.
Le cas général est celui de la coupole ouverte, oîi le fuseau FC s'arrête parle haut," non au joint vertical, mais à un joint oblique G. Ilfaut, dans tous les cas, que la poussée horizontale au joint supérieur soit nulle. Cela est évident pour une coupole ouverte ; pour la coupole fermée, qui n'en est qu'un cas particulier, cela résulte de ce que la surface du joint au sommet se réduit à une ligne qui ne saurait supporter une pression finie. Remarquons derechef l'absurdité des théories qui supposent l'existence au joint du sommet G, commue à la clef des berceaux, d'une poussée horizontale qui doit tenir en équilibre le massif DG.
On déterminera les forces qui sollicitent les autres joints de la manière suivante : soit ABCD (fig. 101) un fuseau méridien. La poussée horizontale au joint supé- Fig. loi.
rieur BG est nulle. Soit BiGi le second joint, Pj le poids du voussoir BGGjBj, agissant au centre de gravité de ce voussoir, chargé comprise ; l'équilibre du voussoir exige que la direction de P^ rencontre le joint Bj Gj et fasse avec la normale El Fi à cfe joint un angle au plus égal à l'angle du frottement. Si l'une ou l'autre de ces conditions n'est pas remplie, il s'établit dans la couronne dont fait partie le voussoir considéré une tension horizontale, et la résultante Q, des tensions qui s'exercent des deux côtés sur le voussoir doit être telle que, composée avec le poids Pi, elle donne lieu à une nouvelle résultante Si qui remplisse les deux conditions ci-dessus. Si, en faisant croître progressivement 0, Ton arrive au point inférieur B, du joint Bi G, avant d'atteindre
178 STABILriÉ DES CONSTRUCTIONS.
Tangle du frottement, on déterminera Q, de telle sorte que TaDgle S,E,F, soit égal à Fangle du frottement. Dans le cas contraire, où Ton atteint Tangle du frottement avant de rencontrer le point inférieur du joint, on déterminera Oi de manière que la résultantes, passe par l'arête inférieure Bj.
Soit B.C, le troisième joint, B,CiC,B, le deuxième voussoir, P, le poids de cette pierre avec sa charge, et R, la résultante de P, et S, ; la résultante R, doit satisfaire aux deux conditions ci-dessus sur le joint BjCj. S'il n'en est pas ainsi, il s'établit dans la deuxième couronne une tension horizontale, et la résultante Q, de ces pressions sur les deux faces du voussoir doit être déterminée de telle sorte que la résultante S, de P, et Q, remplisse les conditions dont il s'agit.
Les forces complémentaires Qj, Q,... doivent, d'après le principe de la moindre résistance, n'être pas plus grandes qu'il n'est nécessaire pour l'équilibre ; on doit donc les prendre minimums, et pour cela les considérer comme passant par les points supérieurs des joints, G, Cl, Cj...
En continuant la même opération, on arrivera enfin, pour les coupoles de profil usuel, à un joint GH, sur lequel il n'est plus nécessaire de supposer une tension horizontale de la couronne qu'il supporte, ni par conséquent une force telle que Oi, 0,-Ce même fait se reproduira à plus forte raison pour tous les joints inférieurs à GH ; pour ces joints il pourra arriver au contraire que la résultante S sorte de l'épaisseur du joint vers l'extrados, ou s'incline sur la normale, au-dessous d'elle, d'une quantité plus grande que l'angle du frottement : dans ces deux cas la coupole est instable et se détruira soit par rotation ou par glissement.
Si Ton compose toutes les forces horizontales Q^, 0,... jusqu'au joint GH, leur somme est la poussée horizontale qu'exerce le fuseau méridien sur la culée, et le moment de cette force îbumit l'un des membres de l'équation des moments d'où l'on déduit l'épaisseur de laçulée.
Le joint GH, auquel répond la plus grande poussée horizontale, porte aussi dans la coupole le nom Ae joint de ruptttre; c'est en effet à l'arête intérieure G de ce joint que la courbe des pressions vient rencontrer le contour de la voûte dans le cas d'instabilité par rapport à la rotation ; et, dans le cas d'instabilité par rapport au glissement, c'est sur ce joint que la pression S fait avec la normale l'angle du frottement.
La pression horizontale telle que Qi, 0,..., qui agit sur un voussoir élémentaire d'angle ^ infiniment petit, est proportionnelle à ^ et peut ainsi être mise sous la forme Oi = 9, ^, Q,=y, +••• Or décomposons cette force, qui est dirigée suivant le rayon du parallèle, en deux forces horizontales, normales respectivement aux deux parois du fuseau méridien. Chacune de ces deux composantes sera égale, comme on le voit inimédiatement sur la figure, à
OU, comme ^ est infiniment petit, égale -^ ou y,. Ainsi 9^ = ^,'
ç',= ~... sont les pressions horizontales réciproques des voussoirs-
dans une même couronne soumise à la poussée centrifuge Q,, ou 0,..- Soit 6 l'épaisseur, mesurée au cercle de naissance dont le
rayon est û, du fuseau auquel se rapporte la poussée Qi , Q,. . : ^p ===- •
Les pressions réciproques dans Une même couronne soTit donc
oQx
aQi
respectivement q^ '•
On peut, dans la pratique, déduire l'épaisseur de la voûte de la pression normale qu'exerce la coupole sur sa base AD. La table du paragraphe 22 donnera dans '^'r- «o^-
sa troisième, colonne la fraction de cette pression qui peut agir sur la base d'un fuseau d'un mètre de largeur sur le cercle des naissances ; en d'autres termes, on aura le nombre de mètres carrés 'de base nécessaire pour supporter la pression normale sur la base, en ayant soin de ne pas dépasser la pression par mètre carré que donne la cinquième colonne de la même table.
Proposons-nous maintenant de déterminer, avec une approximation suffisante pour la pratique, les forces et dimensions nécessaires. Soit (fig. 102) : a la demi-ouverture de la coupole,
180 STABIUTÉ DES CONSTRUCTIONS.
b la hauteur intérieure de la coupole supposée fermée (ordinairement b=a)y
a Tangle du joint supérieur avec la verticale (si la coupole est fermée, a = 0),
jS Tangle du joint inférieur avec la verticale (si la coupole est hémisphérique, fi= 90 degrés),
a' le rayon du cercle intérieur de l'ouverture au sommet de la coupole,
b' la distance verticale de ce cercle au sommet de Tintrados supposé fermé,
c répaisswir de la voûte,
h la hauteur de la charge qui surmonte le sommet de la voûte, réduite au poids spécifique des voussoirs,
A', h!\ A"' les hauteurs de cette charge au-dessus du joint supérieur et du joint de naissance , mesurées conmie l'indique la figure,
ç Tangle du joint de rupture avec la verticale,
Q la poussée horizontale pour un fuseau d'un mètre d'épaisseur, prise perpendiculairement au plan de la figure,' sur le cercle de naissance,
N le moment de Q par rapport à la naissance,
P le poids de ce fuseau,
M le moment de P par rapport à la naissance,
e l'épaisseur de la culée, mesurée à partir de l'intrados,
/la hauteur de. la culée et de sa fondation au-dessous delà naissance,
g la hauteur totale de la culée,
n le eoefficient de stabilité.
Le poids de la coupole pleine est, en considérant la courbe d'intrados conmie uneparabole, tta* {à"+^h'"—^ b). Pour lorifice supérieur, qui sera toujours petit, on peut retrancher na'^ (Ah- c). En divisant le résultat par 27tez, on aura le poids du fuseau élémentairje ci-dessus défini :
Le moment de P s'obtient ainsi. A une distance horizontale x
du sommet, le massif de la voûte avec sa charge a une hauteur verticale égale à
L'épaisseur du fuseau au même point est^, en sorte que le moment d'un élément du fuseau est
En intégrant depuis a;=0 jusqu'à j:=û, et retranchant le moment du segment enlevé à Torifice supérieur, soit sensiblement
-y^. ^, on a le moment de P par rapport au sommet. On en déduira le moment par rapport à la naissance en retranchant le nombre précédent de àP. Ainsi
Cette formule s'éloigne plus de la vérité que la formule approchée analogue pour les ber- pig los.
ceaux, et n'est qu'une assez grossière approximation. On aura d'ailleurs, si l'on veut, et avec facilité, les valeurs exactes de P et de M par des constructions graphiques et le calcul de petits tableaux, ainsi que nous l'avons déjà fait mainte fois plus haut et que nous le montrerons encore plus bas par des exemples.
On fera un calcul analogue pour déterminer les forces horizontales Qi, Q«, Q„ puis leur résultante Q et son moment N par rapport à la naissance. Apnt ainsi P, Q, M, N, on déduira l'épaisseur e de la culée de l'équation des moments
n(/Q + N)=î|.-heP-hM.
Dans cette équation on néglige la différence de largeur de la face
J82 STABILITÉ DES GONSTRUCflONS-
postérieure concentrique de la culée par rapport au cylindre des naissances. Cette différence est favorable à la stabilité. On a donc :
->P+|/2g[n(/'Q4-N)-MT+Pr (3)
Gomme les culées des coupoles sont ordinairement hautes et sans butée de terre par derrière, on adoptera 3 pour coefficient de stabilité.
Si Ton veut se dispenser du calcul de tables pour déterminer les grandeurs Q et N qui entrent dans la valeur de e, on remarquera que la courbe des pressions passe non loin de Taréte iutérieure de naissance, ce qui permet de poser approximativement
Si Ton admet en outre que le joint de rupture est à mi-hauteur, -^i^, et que la résultante horizontale passe par le milieu du segment supérieur au joint de rupture, ce qui établit son point d'application à une hauteur ^{fi — b') à peu près au-dessus de la nais^ sance. on aura :
d'où
Ayftnt ainsi P, Q,M,N tirés de (i), (5), (2), (4), la formule (3) donnera immédiatement une valeur approchée de l'épaisseur e de la culée. Mais il vaut mieux substituer dans (3) les grandeurs obtenues par des constructions graphiques et les calculs de tables.
La poussée horizontale Q, qui s'exerce sur chaque mètre courant de laeouronne iniërieure des voussoirs aux naissances, est équilibrée ordinairement par la stabilité de la culée; mais on peut aussi la détruire par une bande de fer établie autour de la partie inférieure de la coupole. Cette bande doit, d'après ce qui précède, résister à
une tension — . Cette force est mesurée en mètres cubes de ma-
tériaux de densité égale à celle des voussoirs ; si Ton veut Texprimer en kilogrammes, w étant le poids d'un mètre cube de ïa matière
des voussoirs, la force sera - — ^ : pour le calcaire ou le grès, on aura «^=2400 kilogrammes. En faisant travailler le fer forgé à 6 kilogrammes par millimètre carré (g de la charge de rupture), 3n devra donner à la barre la section w =[—z: — I "^* .
Premier exemple. — Coupole ouverte en haut, avec charge supéieure.
Prenons pour exemple une voûte de 18°*, 84 d'ouverture et de 0", 94 'épaisseur, avec une charge de 1",88 de hauteur au-dessus du 3mmet, et qui s'étend obliquement jusqu'au joint de culée en abaissant, depuis le sommet, de l'°,98 (fig. XVIII à la fin du voime). L'ouverture au sommet a un rayon d'extrados de S"*,?? et n rayon d'intrados de 3°*, 45.
Pour le calcul des forces verticales, on partage la voûte et sa harge, comme dans les exemples précédents, en petites parties, ivoir dans ce cas en sept parties, dont les six premières, ont une irgeur de 1",26 et la dernière une largeur de 0™,94.
On formera les mêmes tableaux qu'on a construits dans les pararaphes précédents ; on ajoutera seulement une colonne des épaisîurs des segments. On pouvait jusqu'ici supprimer cette colonne, arce qu'on considérait un bandeau d'un mètre de longueur dans
sens des génératrices, en sorte que le poids était représenté par . surface de la voûte, tandis que dans une coupole on considère 3s fuseaux dont l'épaisseur varie en décroissant de la naissance au >mmet et devient nulle au sommet même.
En supposant l'épaisseur du fuseau sur la circonférence de naismce égale à 0°*,31, on aura l'épaisseur du fuseau sur un parallèle iideonque en multipliant 0,31 par le rapport du rayon du paralle au rayon du cercle de naissance.
On obtient ainsi le tableau suivant pour les forces verticales :
STABILITÉ DES CONSTUUCTIONS.
FOnCES VERTrCALES ELKMENTAIHES
SOUDES PAnTlElLES
le
tl
fi
nt>
pi.
O.Oft
0,tig
(Lia
l,tR
3,iÈ7
0,tt6
IjSÎ*
i.as
s,ai«
0,tï
tjâ
i.ae
ti.91
^i,ih
ti^Si
OJl
3,ïï>
