LIVRE I. — PRINCIPE DE LA MOINDRE RÉSISTANCE

points d'application des résistances sur ces dernières surfaces, et cela introduit une nouvelle indétermination dans le choix du groupe de réactions propre à assurer l'équilibre du système.

Le but du principe de la moindre résistance est précisément de lever cette indétermination autant qu'il est possible, en resserrant les limites dans lesquelles on peut faire varier les deuxièmes composantes ci-dessus définies du groupe des réactions.

Quand les points d'application et les directions des réactions sont également variables, le principe nouveau ne fournit pas un caractère absolument distinctîf, ne s'appliquant qu'à un groupe unique parmi l'infinité des groupes de réactions possibles. Mais il suppose qu'on a préalablement divisé l'infinie multiplicité des groupes possibles en certaines classes, et il tire de chaque classe, par un signe caractéristique, le groupe qui, en réalité, peut seul avoir lieu. Il reste alors à faire sortir d'autres considérations le choix de la classe dans laquelle doit se trouver le groupe unique cherché ; mais on ne peut tirer ^^[^nature du système entier aucun autre moyen de distincî problème demeure indéterminé *, et le principe menulement à trier l'infinie multiplicité des groupes de régies, et à réduire les groupes réellement admissibles à lus restreint.

Soient : «A, ôB, cG, dD (fig. 1) les surfaces par lesquelles le système donné est en contact avec des surfaces d'appui fixes ; soient A, B, G, D, des points choisis à volonté sur ces surfaces, et qui pourraient être les points d'application des réactions R, , R„ R„ R^; soient P là grandeur, PM la direction de la résultante de toutes les forces appliquées au système, tenue en équilibre par le groupe des réactions

* Ce mot d'indétermination peut choquer à bon droit le lecteur qui aborde pour la première fois la théorie des voûtes. Il n'est pas sans intérêt de s'expliquer tout de suite à ce sujet. Le problème dont il s'agit est parfaitement déterminé en luimême ; il n'y a dans la nature, et dans chaque cas, qu'un seul groupe de réactions possible. L'indétermination existe seulement pour nous^ faute d'avoir un nombre d'équations suffisant pour déterminer les inconnues du problème. La considération de l'équilibre du système, indépendamment de sa nature, a donné les six équations de l'équilibre. Elles ne suffisent pas en général ; il faudrait, y joindre les équations qui régissent la répartition des pressions dans les corps solides :* cette loi de répartition est inconnue; de là l'indétermination, qui tient à un défaut d'étendue des connaissances actuelles. Le problème serait parfaitement déterminé pour nous si le système était fluide au lieu d'être solide, parce que bi loi de répartition des pressions dans les fl ailles est connue.

Kig. I.

dont on vient de parler. Je décompose la réaction R, en une composante P, parallèle à P, et une Q, perpendiculaire à P, et ainsi des autres; je trace ensuite dans un plan perpendiculaire à PM les

lignes Ma,^M/3, My, M 5, resp'fectivement parallèles aux composantes Q,, Q,, Q»5 O4 ; puis je considère comme appartenant à une seule et môme classe tous les groupes de réactions dont les composantes Q,, Q«5 0»5 O4 sont parallèles aux mômes axes Ma, M/3, My,Ma.

Gela posé, le principe de la moindre résistance s'énonce ainsi : Parmi tous les groupes (Tunexniê^ne classe, celui-là ^K^ possible pour lequet^'^0ertu des propriétés physiques du système^ les composantes On 0«5 Ojj O45 perpendiculaires à la direction PM, sont simultanément un minimum.

Ce principe laisse indéterminée, comme nous l'avons annoncé, la classe à laquelle appartient le groupe de réactions effectif, en d'autres termes, les directions des composantes Q,, Q,, 0,, Q^ de ces réactions dans un plan perpendiculaire à PM : la détermination de ces directions est laissée à un autre ordre de considérations, qui ressortent suffisamment des données dans la plupart des cas de la pratique.

Le principe donne aussi lieu à la question de savoir si, dans une classe donnée de réactions , il existe un groupe unique offrant un minimum simultané de toutes les composantes 0,, Q„ 0», 0^, ou bien s'il y en a plusieurs jouissant de cette propriété. On ne peut supposer que, plusieurs groupes satisfaisant au minimum, l'un d'eux ait toutes ses composantes plus grandes que celles d'un autre; car alors le premier ne pourrait être considéré comme un minimum. Mais il peut se faire que quelques-unes des composantes de