LIVRE I. — PRINCIPE DE LA MOINDRE RÉSISTANCE

l'un soient moindres, et en même temps quelques-unes aussi plus grandes que les correspondantes de Tautre. Il reste alors à choisir entre tous les groupes de cette classe pour lesquels il y a un minimum simultané des composantes, et le problème demeure par ce nouveau motif indéterminé quand même il n'y aurait plus de doute sur la classe à choisir.

Il est clair, du reste, qu'aucune indétermination n'a lieu quand le système donné ne s'appuie que sur un, deux ou trois points fixes ; mais elle apparaît quand il renferme quatre points fixes ou un plus grand nombre. En effet, des lois générales de l'équilibre il résulte * que la somme des composantes P,, P,, P», P^ parallèles à PM des réactions R,, R,, R», R4 doit être égale à la résultante P ; et que les composantes 0,5 0,, Os? 0*? perpendiculaires à la direction de P, doivent être telles que , transportées parallèlement à elles-mêmes en un même point, elles se feraient .équilibre. Ces dernières composantes doivent donc être proportionnelles aux côtés EF, FG, GH, ' HE jl'un polygone fermé quelconque EFGH, dont les côtés seraient respectivement parallèles aux directions des composantes Ma, Mj3, My, Md.Or, du moment où il y a plus de trois composantes, et où, par conséquent, le polygone a au moins quatre côtés, on sait que, connaissant la direction des côtés et l'un d'eux, tous les autres ne s'ensuivent pas immédiatement, mais qu'il y a plusieurs côtés arbitraires.

Dans ce cas, plus d'une composante demeurant indéterminée, il ne saurait y avoir un minimum général unique. Il y aura, au courtraire, un certain nombre de groupes de composantes répondant à un minimum simultané. On construira ces groupes par la méthode suivante : on tracera parallèlement à «M, jSM, yM, $M, un polygone EFGH, qu'on fera varier semblablement à lui-même. Tous les côtés, variant alors proportionnellement, atteindront un minimum simultané. On fera dans le plan a^d les lignes «'M, /3'M, y'M, (î'M respectivement égales aux côtés EF, FG, GH, HE. Le polygone a^'y'8' variera semblablement à lui-même, en même temps que EFGH, et Ton construira facilement la position ol'Çl'f^' qui inter-

* Les lois générales de Téquilibre donnent, outre les relations rappelées et mises en œuvre ci-dessous, trois autres équations exprimant que le couple résultant a un moment nul. Ces équations, que le principe de la moindre résistance laisse de côté, serviront à la discussion ultérieure dans chaque cas d'application, pour compléter la solution.

cepte sur les lignes «M, |3M, yM, dM les moindres valeurs qui puissent être attribuées aux composantes d'après les conditions spéciales du système donné.

§ 2. Démonstration du principe de la moindre résistance.

Nous allons maintenant démontrer le principe de la moindre résistance, à savoir : que parmi tous les groupes possibles de réactions R,, R,, R„ R^, dont les composantes Q,, Oa? Os, O4 perpendiculaires à PM sont parallèles à des axes donnés «M, j3M, 7M, 5M, celui-là seul peut se réaliser, pour lequel ces composantes deviennent simultanément minimum.

Qu'on imagine des tiges inflexibles dans les directions Ma, Mj3, My, M 3, reliées invariablement au point M. Je supprime les corps résistants qui soutiennent en A, B, G, D le système donné, et ne conserve que leurs surfaces A«, Bi, Ce, Drf, dang les parties où elles touchent les surfaces extérieures du système. Je suppose ces dernières surfaces liées invariablement aux tiges respectives Ma, Mj3, My, M(î par d'autres tiges droites ou courbes mais inflexibles «a, i/3, cy, dd. Enfin, au lieu de la résultante PM, j'admets que le système est soutenu par une tige inflexible partant ie M, et appuyée en N à un point de sa direction supposé fixe.

Le système donné est en équilibre grâce à la résistance des tiges MN, Ma, M|3, My, Md, sur lesquelles toutes les composantes des réactions de A, B, G, D se reportent par le moyen des liaisons invariables Aaa, B6|3, Gcy, Ddd. L'équilibre a lieu ainsi comme il aurait lieu par la résistance des points d'appui en A, B, G, D, et il est clair que les tensions exercées sur les tiges M«, M|3, My, M 5 seront respectivement égales aux composantes Q,, 0„ 0„ Q^, tandis que la tension de la tige MN cojiserve la valeur constante P=P,-f-P» 4-P. + P..

Les réactions R, , R^, R,, R^et leurs composantes Q, , Q,, Q», Q^ dépendent absolument de la nature du système et de -la disposition physique des surfaces de contact A«, Bô, Gc, Dd; mais elles ne dépendentpas de la faculté de résistance plus ou moins grande des corps faisant appui. Ainsi, quelle que soit la solidité relative des tiges Ma, Mj3, My, M 5, chacune aura une tension déterminée : 0,=Msc\ 0«=M/3', 0,=My', 0,=Md'. Si l'on suppose ces tiges