LIVRE m. — POUSSÉE DES TERRES

Les équations (1), (2) peuvent donc être mises sous la forme

{vjh + p) sin* a + y cos* a = 7i, (3)

{wh + p) sin a cos « — y sin a cos a = w tang g» + k. (4)

Eliminant n, on obtient q :

Dans cette expression, c'est Tangle a du plan EF avec la verticale qui est la variable indépendante.

Si l'on exprime que a doit rendre maximum l'expression (5) de y, on aura l'angle que doit faire avec la verticale la base de plus grande tendance au glissement pour le prisme GH, et la valeur de q correspondante représente la vraie pression horizontale sur l'unité de surface à la profondeur GH = A au-dessous du plan horizontal supérieur du massif.

On simplifiera le calcul en transformant la valeur (5) de q comme il suit :

X , y 8in g C08 (tt -4- ^ ) 1 cos y

q=2(wn -h p; ^^^ ^ gjjj ç^^ ^j /e. ^^^ ^ ^^^^ .^^ ^j

[ivn -r p; ^.j^ ^2« 4- cp)^. sin (p '^- sin (2^

<p)H- sin 9

, {wh -t- p) [sin (2a + <p) ~ sin 9] — 2fe cos y sin (2a -♦- et») sin 9 *

L'annulation du coefficient différentiel donne :

dq 4 cos (2a -f- y) \{%Jûh -f- p) sin y -»- A; cos y) r.

dcf. [sin (2a -h 9)-+- sin 9]» " *

Comme le dénominateur ne saurait être infini, le numérateur doit être nul :

cos(2a-|-?)==0, ou 2«+()p=j, et «=i-|. (6)

En substituant cette valeur de « dans (5), on a la vraie pression

horizontale cherchée, appliquée à Tunité superficielle à la profondeur h :

tang(^+|) co8(J-|)smg^|)

=-- K* + P) tang' 4 - 2 -r—r. (/)

cos.(--|)

Il faut maintenant déterminer la pression véritable p qui s'exerce sur l'unité superficielle d'une section quelconque EF, passant par le point H et inclinée sous un angle quelconque a par rapport à la verticale : on aura p au moyen de ses composantes n et 5, respectivement normale et parallèle à EF. Les équations (1) et (2) donnent

WsinaH-Qcosa = N, Wcosa — Qsina=S,

ou, en remplaçant W, Q, N, S par leurs valeurs en w^ q, n^seiq par son expression (7),

n= cos«<x j(«,A+p)[tang'«+tang«g-|)]--^p^j, (8) .=sin«œs«((t.A + p)[l-tang'(j|)] + -^'|î^j. (9)

On a ensuite

et l'angle ip , que fait avec la normale au plan EF la pression p qiû s'exerce sur ce plan, est donné par

tang^==-^. {{{)