LIVRE III. - POUSSÉE DES TERRES

§74. Cas où a est>^ — ~-, etcp'<'^.

Enfin, en conservant Thypothèse «'^r""!' supposons que la

faculté de frottement de la paroi OA soit inférieure à celle des terres dans l'intérieur du massif : ainsi 9' est < 9. Dans ce cas, les formules (30) et (31) sont encore applicables pour toutes les valeurs de AOC=a' qui sont assez grandes pour que Téquation (32) donne ^'<Zf'. Pour toutes les valeurs de ot' inférieures, et pour lesquelles on rencontrerait la condition impossible ^p'2>9', on doit recourir aux formules (24), (28), (26); la résStance du mur OA fait avec la normale à ce mur l'angle 9', et la valeur de la pression horizontale donnée par (25) est plus grande que celle qu*eût donnée (30). Pour les valeurs de a supérieures à la limite, on emploie (30), (31), (32); la résistance de OA fait avec la normale l'angle ^', et la valeur de la poussée horizontale Q donnée par (30) est plus grande que celle qu'on aurait tirée de (23).

Cette valeur limite de a', que nous désignerons par |3^, se déduira de (32) en y faisant a'=|3' et ^J^=9' et résolvant Téquation par rapport à i3'. On a *

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d'où enfin l'expression simple

sin(2P'+ç')=S-'- (33)

sincp

Pour 9'=9 on a |3'= -.' — I, ce qui s'accorde avec ce qu'on a vu plus haut. Pour 9' = 0, |3'=| . On voit aussi que, dans le cas d*un

mur GA absolument poli, les équations (27), (28), (29), déduites des formules (24), (2S), (26), sont applicables, quelle que soitl'inclinaison de la paroi résistante OA.

§ 75. Résumé des résultats précédents.

Tout ce qui précède peut se résumer ainsi : i"" pour toute valeur de l'angle de frottement 9, on doit appliquer les formules (24), (23), (26), tant que Tanglç a ne dépasse pas la valeur j3' donnée par (33); on doit d'ailleurs avoir soin de mettre dans les formules 9 à la place de 9' toutes les fois que ?'><p.

2* Quand l'angle a dépasse ]^', on doit appliquer les formules (30), (31), (32).

3* Pour un mur à parois parfaitement polies, où ?=o, on applique toujours les formules (24), (25), (26), ou les formules (271, (28), (29) qui s'en déduisent; dans ce cas, en efifet, l'angle a ne saurait dépasser sa limite (3'.

L'analyse qui nous a conduit à la détermination de la plus grande poussée horizontale contre une paroi oblique et capable de frottement complète utilement les théories précédentes sur cette matière ; notre théorie ne présente pas la contradiction suivante qui régnait

dans le cas de CQA ou a>Y"^> d'après les explications antérieures et les formules (24), (23), (26), qui s'en déduisent. Ces formules indiquent en effet que la réaction résultante P du mur OA est située à gauche de la verticale de son point d'application, d'où résulte pour la poussée du massif une composante horizontale non dans le sens YO, mais dans le sens OY. Supposons maintenant que, pour cette même direction de la paroi OA, elle ait à résister dans le sens vertical de bas en haut, ce dont elle est évidemment capable : il faudrait pour cela que la résistance d'une section quelconque, telle que OB, fût pareillement verticale (comme on le voit en exprimant l'équilibre du prisme AOB). Or, cette dernière condition ne saurait être remplie pour les positions très-inclinées du plan OB; et, fût-elle remplie, on manquerait des éléments nécessaires pour déterminer la pression verticale résultante sur OA. '