LIVRE III. — POUSSÉE DES TERRES

donc être combattue que par le frottement qui s'exerce sur les surfaces horizontales DA, DC. Si donc la surface d'appui AG est absolument polie et ne peut développer de frottement, il est alors impossible que le massif incliné ABC se tienne en équilibre ; la -terre, jetée de manière à affecter cette figure à l'origine, se répandra en une tranche horizontale infiniment* mince, à la manière d'un liquide parfait. Si la surface AC est rugueuse et que sa faculté de frottement dépasse une certaine limite, la terre qui s'y appuie pourra prendre un talus |3 égal à l'angle de frottement 9, qui est son maximum. Pour une surface d'appui moins rugueuse, l'angle du talus-limite BAC=BGA = |3 que peut faire le massif avec sa base est dans une certaine relation de grandeur avec l'angle du frottement 9 de terre sur terre, et avec l'angle 9' de frottement du terrain sur la base AC. C'est cette relation que nous nous proposons de trouver.

Nous admettrons pour cela une hypothèse non démontrée, mais qui ne s'éloigne sûrement pas beaucoup de la vérité : la partie BED du massif BAD, laquelle a la tendance maximum au glissement sur sa base ED, est un prisme de rupture plane suivant ED. Cela admis, représentons par a l'angle BDE, la hauteur BD par H, et par Q la pression horizontale qu'exerce contre BD le massif BED, considéré comme ayant l'unité de largeur perpendiculairement au plan ABC; négligeons la cohésion de la terre et la pression atmosphérique extérieure : en remarquant que la face ED résiste dans une direction inclinée de l'angle ? sur la normale, on trouve l'expression

ç. 1 TT2 ta ngg 1 ^^ sin a cos P /ok\

^ 2 lang(*-+-<p)(1-hlang*laugPj 2^ tang(a4-(ï))cosia— p)* ^ ^

Egalant à zéro le coefficient différentiel de Q par rapport à a pour déterminer la maximum de Q et la valeur correspondante (le a, on a

. tang«= ^^7 = ^^7- (3S)

^ V langcp ^ K cosPsm'f

Substituant cette valeur de tang a dans l'équation précédente, on a la vraie valeur de la pression horizontale qui s'exerce sur la face BD :

={ wE^ ; '''\' -,r (36)

laug9,

3Iâ STABlLrrÉ DES CONSTRUCTIOxNS.

OU Q = -wE^

En*ce qui concerne le point d'application G de cette pression, on répéterait le calcul précédent pour une partie quelconque de la hauteur BD comptée à partir de B, et l'oij aurait une formule semblable à réquation (36), sauf le remplacement de H par la hauteur z choisie au-dessous de B. La différentiation donnera la poussée élémentaire dQ sur une partie dz; puis la somme des moments de ces poussées élémentaires par rapport au point B, divisée par la valeur (36) de la résultante Q, donnera la distance du point d'application G de la résultante au point B :

Considérant maintenant l'ensemble du demi-massif ABD, on voit qu'il est sollicité par trois forces :

1° La poussée horizontale Q de la partie CBD, agissant à une hau-

teur BG=çH au-dessous de B:

2® Le poids W = 2t^.-j— s de. la masse ABD, dont la direction

WL passe par le centre de gravité du triangle ABD, par conséquent à une distance du point D

DL = =DA= s" ;

langp

3** La résistance P de la base AD, agissant dans une direction PK qu'il nous reste à déterminer; nous désignerons par t^ l'angle PKN qu'elle fait avec la ligne KN normale à AD.

Ces trois forces doivent se faire équilibre ; donc la résistance P de la base AD doit être dirigée suivant la diagonale IH du parallélogramme WHQI, dont les côtés QH et WH représentent, tant en grandeur qu'en direction, les deux forces Q et W. Déplus, P représente la grandeur de la résultante de Q et W. On aura donc, eu égard aux valeurs précédemment calculées de Q et W :