XX AVERTISSEMENT DE L'AUTEUR

raisonnement doit satisfaire les mathématiciens. J'ai peut-être commis une imprudence en prenant à^ abord pour exemples des théorèmes du début de la géométrie d'Euclide ; mais je ne m'en suis pas tenu là. On prend des exemples pour se faire mieux comprendre ; il y a donc avantage à les choisir très simples et connus de tous. Ces premières démonstrations d'Euclide m'ont paru particulièrement propres à mettre en lumière les opérations constructives du raisonnement parce qu'elles consistent à transformer en opérations logiques des opérations manuelles et en constatations logiques des constatations empiriques qui ont été de tout temps et sont encore courantes dans la pratique des arts. Un menuisier, un serrurier, un cartonnier, une couturière s'assurent qu'une planche, une lame de métal, une feuille de papier, un morceau d'étoffe ont la figure d'un triangle isocèle en les appliquant retournés sur leur propre trace. Les opérations élémentaires de l'arithmétique sont aussi des opérations logiques correspondant aux opérations manuelles que devaient faire les anciens lorsqu'ils Calculaient en assemblant ou séparant sur une table des paquets de jetons. Mais ce rapprochement entre des opérations logiques et des opérations manuelles, entre des constatations logiques et des constatations empiriques, ne signifie pas réduction des unes aux autres. Si, dans la rédaction, j'ai accentué à plaisir, sans penser qu'on en pourrait tirer argument contre moi, ce qu'on peut appeler le matérdalisme de ces démonstrations très imparfaites \ je n'ai point entendu dire que la coïncidence des côtés et des angles fût empiriquement constatée. L'opération manuelle n'est qu'une vérification et ne vaut que pour la planchette ou la feuille de papier que l'ouvrier vient de tailler. Elle doit devenir, dans la démonstration, non pas une opération mentale, un mouvement exécuté en imagination, mais une opération logique. La coïncidence de l'angle au sommet avec sa trace résulte de ce que c'est le même angle ; la coïncidence des deux côtés de cet angle résulte de ce que, par hypothèse, ces deux côtés sont égaux ; la coïncidence du troisième côté résulte de ce que deux points ne peuvent être joints que par une seule ligne droite; l'égalité des deux angles

I . a On exfolie le triangle isocèle et on le détache de lui-même pour le réappliquer en le retournant sur sa propre trace. » '