AVERTISSEMENT DE L'AUTEUR XXI

à la base résulte de ce que la figure coïncide tout entière avec sa trace \

J'ai d'ailleurs eu bien soin d'indiquer que le raisonnement déductif présente le même caractère constructif en arithmétique, en algèbre, en analyse. Les «transformations» algébriques sont des opérations constructives par lesquelles on démontre qu'une certaine forme est la conséquence logique d'une certaine autre forme. La forme des expressions est la matière même de l'algèbre. Au surplus, ai-je besoin d'insister? Le travail de M. Rougier met en lumière, en essayant de les classer, les modes de construction qu'utilise le raisonnement mathématique. Si le lecteur, après la lecture du présent livre, n'est pas convaincu, i" que le raisonnement déductif doit sa fécondité à des opérations constructives ; 2** qu'il doit sa nécessité à ce que toutes ces opérations sont exécutées en vertu de règles ; 3^ que ces règles ne sont pas les règles de la logique, mais les propositions antérieurement admises ; 4" que le rôle de syllogisme se borne à l'application de ces règles au cas considéré, je l'invite à lire l'article de M. Rougier pour achever de se convaincre.

Malgré les précautions que j'ai prises, le lecteur aura peutêtre quelque peine à se rendre compte que la constatation logique n'est pas du tout une constatation empirique. Elle consiste à prendre acte du résultat d'une opération logique. Sans elle, l'esprit ignorerait le résultat de ses propres opérations, car agir et connaître sont deux. Il serait comparable à ces ouvriers des fabriques de tapisseries qui ne voient que l'envers de leur tissu. Sans la constatation logique, l'esprit ourdirait sa broderie logique sanslaconnaitre. C'estd'ailleurs impossible, car l'esprit a besoin de connaître, pour en faire la règle d'une opération ultérieure, le résultat de l'opération qu'il vient de faire. La constatation logique n'est pas autre chose, en somme, que la réflexion : l'esprit ne peut pas travailler sans se regarder travailler. La pensée dépourvue de réflexion se réduit à des associations d'images, auxquellespeuvent s'entremêler quelques

I. La critique de M. Rougier m'a fait effacer une ligne. Il n'est pas exact que cette démonstration ne contienne qu'un seul syllogisme. Il y en a deux autres qui sont l'application à l'angle et aux côtés du triangle retourné de la définition de l'égalité géométrique. Mais il n'y a pas impossibilité à ce qu'un raisonnement très simple ne contienne qu'un seul syllogisme.