CESARE

p exclut q

FESTINO

s entraîne q donc s exclut p

s n'exclut pas q donc s n'entraînepas p

Troisième figure.

155. — Le moyen terme de la troisième figure est un sujet singulier, un exemple. Il peut être aussi une hypothèse qui entraîne à la fois deux conséquences, on entraîne l'une sans exclure l'autre, en sorte qu'elles ne sont pas incompatibles, ou qui exclut l'une sans exclure l'autre ou même en l'entraînant, ou enfin qui entraîne l'une sans entraîner l'autre, en sorte qu'elles ne sont pas nécessairement jointes. Voici donc les modes de la troisième figure.

DARAPTI

m entraîne q

m entraîne p

donc p n'exclut pas q.

DISAMIS OU DATISI

m entraîne q

m n'exclut pas p

donc p n'exclut pas q

FELAPTON

m exclut q

m entraîne p

donc p n'entraîne pas q.

FERISON

m exclut q

m n'exclut pas p

donc p n'entraîne pas q

BOCARDO

m n'entraîne pas q

m entraîne p

donc p n'entraîne pas q

Remarques sur les deux premières figures.

156. — La première figure peut toujours être interprétée en extension, et il arrive en fait qu'elle soit ainsi entendue par celui qui raisonne. Alors elle conclut à ranger un sujet dans un genre parce qu'il appartient à une espèce du genre, ou à l'exclure du genre parce qu'il appartient à une espèce exclue du genre. Ce dernier cas revient à dire que ce sujet a un caractère que le genre n'admet pas. Les deux modes négatifs de la première figure sont donc très voisins des deux modes à majeure négative de la seconde. La conversion de la majeure universelle suffit pour les y ramener tout à fait, et comme l'universelle négative et sa converse sont un seul jugement, les modes ne sont pas seulement réductibles, mais identiques, — à une toute petite nuance près ; mais cette nuance n'est pas tellement imperceptible que le langage usuel lui-même ne la traduise.

ce- Nul poisson ne respire par des poumons ; 2* figure ^ sa- Les haleines respirent par des poumons; re Elles ne sont donc pas des poissons.

Dans la conclusion, le grand terme est un partitif: les baleines n'appartiennent pas au genre poisson,

( ce- Nul animal respirant par des poumons

-p r ) n'est poisson :

1'* hffure < , ^ , , . \

I la- Les baleines respirent par des poumons;

[ rent Elles ne sont donc pas poissons.

Dans la conclusion, le grand terme est un attribut : les baleines n'ont pas le caractère poisson. Le raisonnement reste pourtant, au fond, le même.

On identifie de la même manière Ferio et Festino.

D'autre part, Camestres est identique à Cesare et par suite à Celarent. Car on peut convertir la conclusion de Camestres, ce qui transpose les prémisses ; on obtient alors Cesare^ et par suite Celarent :

2' figure

■ ca- Tout poisson a la respiration branchiale; \ mes- Les baleines n'ont pas la respiration branchiale ; très Elles ne sont donc pas des poissons.

ce- Les baleines n'ont pas la respiration

, r \ branchiale;

2* hffure < . ' . . , , . ,

" ' sa- Tout poisson a la respiration branchiale;

-e Donc aucun poisson n'est baleine.

ce- Nul animal a respiration branchiale

,p r 1 n'est baleine ;

V^ hffure < , „ , . . , , . ,

° ) ta- Tout poisson a la respiration branchiale;

rent Donc aucun poisson n'est baleine.

L'impression étrange, anormale, que produit cette dernière conclusion vient de ce que, dans la classification zoologique, les poissons forment une grande classe, tandis que les baleines ne sont qu'une subdivision d'une autre grande classe ; il semble donc plus naturel d'exclure la baleine de la classe des poissons que les poissons de la classe des baleines ; mais dans les deux cas, baleine et poisson sont des genres séparés parce que la respiration branchiale, constamment absente de l'un, est constamment présente dans l'autre.

Si ces remarques sont justes, la distinction des modes et des figures n'est-elle pas bien superficielle ? Goncerne-t-elle le raisonnement ou seulement son énoncé ?

Il y a lieu de distinguer à cet égard entre les syllogismes catégoriques et les hypothétiques.

Les transformations de modes sont impossibles pour les syllogismes catégoriques, parce qu'on ne convertit pas un jugement catégorique, dont l'attribut est un attribut, qui ne peut devenir sujet, dont le sujet est un sujet, qui ne peut devenir attribut. Si l'on convertissait la majeure négative d'un syllogisme catégorique en Cesare ou en Feriô, on prendrait un caractère pour désigner un groupe; le nouveau sujet ne serait plus un groupe fini, mais un genre infini en nombre ; le syllogisme deviendrait hypothétique. En réalité cette conversion serait illusoire.

Ce troupeau ne contient pas de moutons noirs; Le mouton que voici est noir; Donc il n'est pas de ce troupeau,

La majeure convertie est :

Nul mouton noir n'appartient à ce troupeau ;

mais si je juge qu'un mouton n'est pas de ce troupeau parce qu'il est noir, c'est que j'ai recensé tous les moutons de ce troupeau et vérifié pour chacun d'eux qu'il n'est pas noir. La vraie majeure est donc la collective totale qui résume un nombre fini de jugements singuliers. La proposition hypothétique en apparence si quelque mouton est noir, il n'est pas de ce troupeau, est en réalité le jugement collectif total; le conséquent de la proposition est le sujet du jugement.

Au contraire les syllogismes hypothétiques en Cesare et Celaî^ent sont réellement identiques :

Celarent Cesare

m exclut q q exclut m

p entraîne m p entraîne m

donc p exclut q donc p exclut q

En effet les deux majeures négativesœ exciizt q eiq exclut m. sont un seul et même jugement. La différence entre les deux figures est certes très importante, puisque, dans la première, la mineure pose l'antécédent de la majeure, ce qui entraîne le conséquent, tandis que dans la seconde, la mineure exclut le conséquent de la majeure, ce qui exclut l'antécédent. Mais comme, dans le syllogisme en Cesare, le conséquent de la majeure est la négation de l'antécédent de la majeure de Celarent, exclure le conséquent de Cesare ou poser le conséquent de Celarent, c'est tout un. On peut s'en rendre compte par cet exemple :

Si trois points sont en ligne droite, ils n'appartiennent pas à un même cercle;

Or les trois points A, B, C sont en ligne droite, etc.

Si trois points appartiennent a un même cercle, ils ne sont pas en ligne droite.

Or les trois points A, B, C sont en ligne droite, etc.

On voit que la distinction des deux figures n'est qu'apparente pour les modes à majeure négative de l'une et de l'autre ; les Stoïciens avaient donc quelque fondement à distinguer trois sortes de syllogismes conjonctifs, à savoir le modus ponens des syllogismes hypothétiques, qui correspond aux modes à majeure affirmative de la première figure, le modus tollenSf qui correspond aux modes à majeure affirmative de la seconde, et les syllogismes copulatifs, qui correspondent aux modes à majeure négative soit de la première, soit de la seconde.

157. — Dans les syllogismes de la première et delà deuxième figures, le petit terme peut être soit un sujet, soit une hypothèse.

Il peut être sujet d'un jugement catégorique, et ce jugement énonce un cas qui est compris soit dans l'antécédent, soit dans le conséquent de la majeure, ou qui en est exclu.

Il peut être une hypothèse qui entraîne ou qui exclut soit l'antécédent, soit le conséquent de la majeure.

Dans le premier cas, la mineure et la conclusion sont des jugements catégoriques ; dans le second cas, elles sont elles aussi des jugements hypothétiques. Delà deux sortes de syllogismes que les Stoïciens avaient distinguées et déjà avant eux Théophraste \

158. — Cette distinction n'entraîne aucune différence quant aux figures et aux modes ; mais les syllogismes à conclusion catégorique et les syllogismes à conclusion hypothétique ne remplissent pas les mêmes fonctions dans le raisonnement.

Les premiers sont l'application d'une règle; ils consistent à considérer une proposition générale, la majeure, non pas dans toute sa généralité, mais dans un cas singulier ou un groupe fini de cas singuliers, par exemple une propriété générale du triangle dans le triangle ABC, une propriété générale de la différence de deux carrés dans une expression algébrique où elle se présente. Le syllogisme n'est pas tautologique, car le cas singulier du triangle ABC n'a pas servi à

I. Ils appelaient 6t 'ôXwv les syllogismes à trois propositions hypothétiques.

établir celte propriété générale, non plus que l'expression algébrique sur laquelle on opère n'a servi à établir le principe qu'on lui applique. Cependant ce syllogisme ne fait acquérir aucune connaissance nouvelle, car le cas singulier est impliqué dans la proposition générale. Loin d'accroître la connaissance, le syllogisme la restreint. Ce passage d'une connaissance plus vaste à une plus étroite n'est pas un gain pour la pensée théorique, qui tend toujours au contraire à étendre son savoir et à découvrir du nouveau. On ne pratiquerait pas une telle opération si elle n'avait quelque utilité, et comme elle n'a pas par elle-même de valeur théorique, il faut qu'elle ait quelque valeur pratique. On restreint ainsi sa connaissance à un objet singulier parce que c'est sur cet objet que l'on opère.

Un principe qui dirige une opération et que l'on restreint en vue de cette opération s'appelle une règle. Une opération est toujours un acte singulier; le principe général ne peut la diriger que si l'on en peut tirer une proposition catégorique singulière.

159. — Le syllogisme à conclusion hypothétique applique une proposition générale à une hypothèse encore générale, mais de généralité moindre. Exemple:

Si deux triangles ont leurs angles égaux, ils sont semblables ;

or si deux triangles ont leurs côtés parallèles, ils ont leurs angles égaux;

donc si deux triangles ont leurs côtés parallèles, ils sont semblables.

De tels syllogismes ne constituent pas davantage un gain pour la pensée théorique, un accroissement du savoir, la conquête d'une vérité nouvelle. C'est leur utilité pratique qui fait leur valeur. Mais la conséquence en est encore un jugement hypothétique, un principe général, une règle, et, pour appliquer cette règle, il faudra finalement la considérer dans quelque cas singulier; ce passage de la propriété générale à la propriété spéciale n'a donc de sens et de valeur que s'il est un acheminement vers le cas singulier. Le syllogisme à conclusion hypothétique est une première restriction d'un principe trop général pour être appliqué. La conclusion doit être l'une des

prémisses d'un second syllogisme, et peut-être la conclusion de celui-ci sera-t-elle l'une des prémisses d'un troisième, jusqu'à ce qu'on arrive à un syllogisme dont la mineure et la conclusion soient catégoriques. On pourra alors faire une opération.

Séparé de l'opération en vue de laquelle il est fait, le syllogisme paraît puéril, et l'est en effet : si l'on fait abstraction de sa fin, il semble inutile. Les vérités généiales, formulées à Vindicatif, valent parce qu'elles peuvent aussi être formulées à l'impératif, elles-mêmes ou quelqu'une de leurs conséquences ; et le syllogisme est nécessaire pour que ces impératifs soient praticables, car c'est sur des cas singuliers que l'on opère et que l'on a^it(2).

Mais les opérations régies par des principes peuvent être des opérations de l'esprit, c'est-à-dire des raisonnements. Le syllogisme n'a de valeur et de signification que par le rôle qu'il joue dans un raisonnement moins simple et qui n'est pas purement formel.

160. — On enseigne couramment que le raisonnement déductif « va du général au particulier » contrairement à l'induction qui « va du particulier au général». C'est à peu près comme si l'on opposait l'arrivée et le départ en disant qu'un train part de Paris pour arriver à i8 heures. La confusion à^ unwersel et particulier, qui sont des caractères formels du jugement, di\Qc général, spécial qX singulier, qui se rapportent à la matière des jugements, est aussi grossière que celle de l'espace avec le temps (io8).

Il faut donc traduire ces formules traditionnelles. Mais comment les traduire ?

Dirons-nous que la déduction va de l'universel au particulier ? Ce serait dire que l'on ne peut déduire aucun jugement universel, et qu'il n'y a pas de démonstration.

Dirons-nous que la déduction va du général au singulier ou du plus général au moins général ? Dans les sciences mathématiques, assurément déductives, aucune démonstration n'a pour objet d'établir la proposition singulière ou spéciale contenue dans une plus générale. Il serait même ridicule de l'entreprendre, puisque cette proposition est déjà admise avec la proposition générale qui la contient et la dépasse. On ne s'attarde pas ainsi à prouver ce qu'on sait déjà, et moins qu'on ne sait. Souvent, au contraire, faute de pouvoir arriver d'emblée à une conclusion générale, on démontre d'abord un cas spécial privilégié, et on s'en sert ensuite pour démontrer la proposition générale (on s'appuie, par exemple, sur la propriété de la somme des angles du triangle pour établir celle de la somme des angles du polygone plan de n côtés); et cette marche est si fréquente que, si l'on jette un regard d'en-

semble sur l'ordre d'enchaînement des vérités mathématiques, on trouve que ces sciences sont très spéciales dans leurs parties élémentaires et de plus en plus générales dans leurs développements supérieurs \ On s'appuie sur les propriétés des nombres entiers pour établir celles des fractions, lesquelles comprennent les nombres entiers; on généralise les théorèmes et opérations relatifs aux nombres entiers positifs en les étendant aux quantités négatives, aux incommensurables, aux irrationnelles, etc. Toute la géométrie dans l'espace repose sur la géométrie plane, qui est plus spéciale, car toute proposition générale relative à une figure dans l'espace s'applique à la figure plane correspondante en supposant nulle la 3^ dimension. Toute la géométrie des figures planes rectilignes s'appuie sur celle du triangle et des parallèles, toute la géométrie des courbes sur celle du cercle. On procède, selon la remarque de Descartes, du simple au composé; or le simple est un cas spécial du composé, le cas où certains éléments s'annulent, sont égaux, ou peuvent être connus par répétition d'opérations identiques (Exemple de Descartes : trouver trois moyennes proportionnelles entre deux nombres est plus simple que d'en trouver deux), et un cas privilégié, la simplification rendant possible quelque opération ou construction qui ne l'est pas sur le composé.

Le mathématicien procède du simple au composé dans l'ordre théorématique, et du composé au simple dans l'ordre problématique. Mais l'enchaînement déductif reste le même dans les deux cas. Quand il s'agit de démontrer, il s'efîbrce d'arriver par la voie la plus courte à la généralité la plus haute. Après avoir démontré une vérité par généralisation progressive, s'il en découvre la démonstration directe sans passer par le cas privilégié, il abandonne la première démonstration comme inutilement lente et pénible. 11 ne cherche pas à « s'élancer d'un bond au faîte de l'édifice en négligeant l'escalier », mais il en réduit au minimum le nombre des degrés, et s'élève aussi haut qu'il peut en gravissant chacun d'eux. Jamais il ne revient en arrière; jamais il ne s'arrête à faire l'inventaire des vérités partielles contenues dans une plus étendue, à moins qu'il n'ait à mettre en évidence et comme en réserve, pour l'utiliser

1. E. GoBLOT, Essai sur la classification des sciences, 1898.

ensuite, une propriété remarquable^ mais ceci ne s'appelle jamais une démonstration; c'est tout au plus un corollaire'. A la méthode démonstrative, appelée aussi synthétique^ s'oppose la méthode analytique. Tout raisonnement consiste à parcourir des (( chaînes de raisons » et avoir successivement, selon Descartes, l'intuition claire et distincte de la liaison de chaque chaînon au suivant, à percevoir la dépendance d'une propriété à l'égard d'une autre. Ces chaînes de raisons peuvent être parcourues dans les deux sens. La méthode de Descartes est une méthode de recherche. Pour résoudre un problème proposé, il faut aller du composé au simple (deuxième règle de la méthode); mais l'ordre selon lequel il faut aborder les problèmes est au contraire celui qui va du simple au composé (troisième règle). — Qu'il s'agisse d'analyse ou de démonstration, les liaisons logiques sont les mêmes : la condition reste condition, le conditionné reste conditionné, et, ni dans un cas ni dans l'autre, la conclusion ne se réduit jamais à la spécialisation d'un principe général admis. Tout raisonnement mathématique consiste à passer à une propriété hétérogène (dans le triangle isocèle, l'égalité des angles résulte de l'égalité des côtés) ou à une propriété plus générale (le théorème de la somme des angles du polygone résulte du théorème de la somme des angles du triangle), jamais à une propriété moins générale.

161. — La théorie du syllogisme n'est donc pas du tout la théorie du raisonnement déductif, « Le syllogisme, dit H. Poincaré, est incapable de rien ajouter aux données qu'on

1. On donne parfois le nom de corollaire à ce qui est, en réalité, théorème. Dans un corollaire, il n'y a rien à démontrer. On se borne à extraire et formuler à part une propriété qui, s étant trouvée établie au cours de la démonstration, ou contenue implicitement dans la conclusion, n'a pas besoin de démonstration séparée. C'est une sorte de pierre d'attente, un palier sur lequel s'embranche un autre escalier pour monter dans une autre direction.

2. Je ne sais exactement à quelle époque on a commencé à opposer la synthèse à l'analyse. Cette opposition se trouve dans les auteurs grecs de l'époque impériale, non dans ceux de l'âge classique. Chez Aristote, c-ûvôcaiç et ct'jvÔcTov signifient composition et composé et s'opposent à O'.aX-jcr',; ou Ôiac'peaiç. Chez les géomètres grecs, àvâXuo'iç s'oppose à àTiooîcî'.:, démonstration, et signifie résolution des problèmes (resolutio est la transcription latine d'àvaXurrt;). Pour résoudre un problème, il faut bien prendre pour point de départ les données ; le principe d'où la solution se déduit est précisément ce qu'on cherche ; on remonte donc du conditionné à la condition, tandis que l'ordre démonstratif va de la condition au conditionné.

2o6 LE RAISONNEMENT DÉDUCTIF

lui fournit ; ces données se réduisent à quelques axiomes, et on ne devrait pas retrouver autre chose dans les conclusions... ; il ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau, et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. » La mathématique se réduirait à une immense tautologie. « Aucun théorème ne devrait être nouveau si, dans sa démonstration, n'intervenait un axiome nouveau ; le raisonnement ne pourrait nous rendre que les vérités immédiatement évidentes empruntées à l'intuition directe ; il ne serait qu'un intermédiaire parasite et dès lors n'aurait-on pas lieu de se demander si tout l'appareil syllogistique ne sert pas à dissimuler notre emprunt ?... Si l'on se refuse à admettre ces conséquences, il faut bien concéder que le raisonnement mathématique a par lui-même une sorte de vertu créatrice et par conséquent qu'il se distingue du syllogisme*. »

Il faut donc admettre que la logique formelle ne rend pas compte du raisonnement des sciences mathématiques, qui sont les modèles de la déduction parfaite et jusqu'ici les seuls types connus de déduction pure. Il en résulte que la logique formelle qui, depuis Aristote, prétend faire la théorie de la déduction en faisant celle du syllogisme, est une énorme et perpétuelle ignoratio elenchi.

162. — La question ici posée n'est pas du tout celle que Kant a examinée dans la Critique de la raison pure : comment des jugements synthétiques a priori sont-ils possibles ? Kant a une confiance absolue dans la tradition des logiciens; il y voit si bien la théorie du raisonnement que c'est d'elle qu'il pense extraire la théorie de la raison. Si la mathématique n'est pas une pure tautologie, c'est qu'elle a pour principes des jugements synthétiques, contenant implicitement tout ce que le raisonnement a pour missiond'expliciter ; et il croit résoudre le problème en montrant comment ces jugements peuvent être a priori et non pas empiriques: ils résultent de l'application des catégories aux intuitions pures. Tout le savoir mathématique présent et futur est virtuellement impliqué dans l'universalité des jugements synthétiques a priori; la démonstration l'en fait sortir par syllogisme.