I. La Science et l'Hypothèse. Paris, Flammarion, p. lo-ii

LE RAISONNEMENT DltlDUCTIF 257

Ce que nous avons montré, au contraire, c'est qu'à chaque pas en îivant, le raisonnement introduit une vérité nouvelle qui n'était contenue ni explicitement ni implicitement dans les principes. Il est positivement fécond et réellement créateur. Etqu'on ne dise pas que ce sont les définitions qui introduisent des propriétés nouvelles, chacune d'elles se faisant au moyen d'une propriété qui enferme en elle toutes les autres propriétés du défini. Une définition introduit en effet un concept nouveau, mais elle ne contient rien de plus que ce qu'elle exprime. La propriété initiale (88) est le principe d'où les autres propriétés se déduisent, mais non pas le genre dont elles seraient les espèces. L'égalité des angles n'est pas contenue dans l'égalité des côtés, qui définit le triangle isocèle, elle en résulte. L'incommensurabilité de la circonférence et du diamètre n'est pas contenue dans l'égalité des rayons, qui définit le cercle, elle en résulte. Il ne s'agit pas d'implication d'un concept dans un autre ni d'un jugement dans un autre, il s'agit de dépendance d'un jugement à l'égard d'un autre. L'erreur de la logique formelle est de confondre le rapport de conséquence avec le rapport d'implication.

163. — H. Poincaré a cru trouver la solution de la difficulté dans le raisonnement par récurrence ou induction mathématique, appelé quelquefois induction complète. Puisqu'il s'agit de généraliser, il est naturel de penser à l'induction, qui, selon la détestable formule usuelle, « va du particulier au général » et conclut d'un nombre fini de cas observés à un nombre infini de cas possibles. Expliquer la généralisation en mathématiques, n'est-ce pas faire une place à l'induction dans le raisonnement mathématique ?I1 nesauraitêtreiciquestion del'induction empiriquequiva desfaits auxlois. lls'agitd'uneinduction rigoureuse, qui, pour conclure à un nombre infini de cas, s'appuie sur la propriété fondamentale de la série infinie des nombres entiers, telle qu'elle est exposée dans la numération parlée, à savoir que tout nombre est formé par l'addition de l'unité au nombre précédent, et que cette opération n'a pas de limite.

Selon H. Poincaré, le raisonnement par récurrence est « le

raisonnement mathématique par excellence ». Et le principe

du raisonnement par récurrence, principe qu'on chercherait

vainement à démontrer, est pour lui un jugement synthétique

GoBLOT. — Traité de Logique. i'^

2o8 LE RAISONNEMENT DÉDUGTIF

a priori j et même <( le véritable type des jugements synthétiques a priori » Çlbid., p. 23).

Il faut d'abord distinguer entre une démonstration et une simple vérification. Une vérification porte sur un cas singulier ; ainsi on ne démontre pas, on vérifie que 2 -{- 2 = li. Toute démonstration comporte quelque vérification, mais l'essence de la démonstration consiste à étendre à une série infinie de cas ce qui se vérifie pour un cas singulier. « Dans le domaine de l'Arithmétique élémentaire, on peut se croire bien loin de l'analyse infinitésimale, et cependant l'infini mathématique joue déjà un rôle prépondérant, et sans elle il n'y aurait pas de science parce qu'il n'y aurait rien de général. » (Jbid., p. 22.) Or cette extension de la propriété vérifiée pour un nombre fini de cas à une série infinie, c'est le raisonnement par récurrence.

Donnons-en d'abord un exemple *.

Soit à démontrer la relation

(1 + a)" > I -f- /la

a étant un nombre positif, n un nombre entier supérieur à 2. On commence par démontrer que, si la relation est vraie pour un nombre quelconque m, elle est nécessairement vraie pour m -\- i ', autrement dit que de l'inégalité

(i) (H-a)'"> i-{-mx

supposée craie, on peut déduire l'inégalité

Pour cela, je multiplie les deux termes de l'inégalité (1)

par I -H a :

(i H-a)'"+^> I -f-wa-f-a + ma* ou, en mettant (m-f- i) en facteur.

I. Il importe de le formuler soigneusement. En corrigeant des copies du concours d'agrégation de 1912 sur les rapports de l'induction et de la déduction, j'ai constaté que presque tous les candidats avaient lu Poincaré et mentionnaient le raisonnement par récurrence ; mais pas an n'avait su l'énoncer exactement.

et, « fortiori, comme a">o :

(l -f-a)'"^' > I 4-(w-hl)a

ce qui est l'inégalité (2).

Mais je ne sais pas encore s'il existe un nombre m pour lequel l'inégalité (i) se vérifie. Je sais seulement que, si la propriété (i) est vraie pour un nombre m elle est vraie pour in-\-i. Or je vérifie qu'elle est vraie pour /?2 = 2 ; en effet elle devient

(i +a)^> I + IX ou bien

ce qui est évident.

La propriété étant vraie pour mz=^i^ elle est vraie pour m =3, elle est vraie pour m^=:[\, et ainsi de suite indéfiniment.

Le raisonnement par récurrence consiste donc en ceci : si, d'une part, à supposer qu'une propriété soit vraie pour un nombre m, il en résulte qu'elle est vraie aussi pour m-\- i, quel que soit m ; si, d'autre part, on sait, par vérification ou démonstration, qu'elle est vraie pour un certain nombre n, elle est vraie pour tous les nombres à partir de n. On peut, en effet, l'étendre de n à /z -f- t , puis à (/i -|- i) -|- i . . . et ainsi de suite indéfiniment. C'est dans ce progrès à l'infini qu'on a voulu voir une analogie avec le raisonnement inductif.

Quelques auteurs disent qu'on vérifie ou démontre que la propriété en question est vraie pour le nombre i, d'autres pour le nombre zéro. Il suffit qu'elle soit vraie pour un certain nombre (dans l'exemple choisi, ce n'est ni i ni zéro, mais 2 ; si on fait ^=1, on n'a pas une inégalité, mais une identité) ; elle peut être alors étendue à toute la série croissante des nombres à partir de ce nombre. Pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les nombres, de — 00 à -|- 00 , il faudrait démontrer que, si la propriété est supposée vraie pour m, i" elle est vraie pour /w-f-i, 2** elle est vraie pour m — I, quel que soit m.

H. Poincaré retrouve le raisonnement par récurrence dans la démonstration des règles de l'addition et de la multiplication, c'est-à-dire des règles les plus élémentaires du calcul

arithmétique ou algébrique. « Ce calcul est un instrument de transformation qui se prête à beaucoup plus de combinaisons diverses que le simple syllogisme ; mais c'est encore un instrument purement analytique, etincapable de nous apprendre rien de nouveau. Si les mathématiques n'en avaient pas d'autre, elles seraient donc tout de suite arrêtées dans leur développement ; mais elles ont de nouveau recours au même procédé, c'est-à-dire au raisonnement par récurrence et elles peuvent continuer leur marche en avant. — A chaque pas, si l'on y regarde bien, on retrouve ce mode de raisonnement, soit sous la forme simple que nous venons de lui donner, soit sous une forme plus ou moins modifiée. C'est donc bien là le raisonnement mathématique par excellence... » (Ibid., p. 19).

Je regrette que H. Poincaré ne m'ait pas aidé à « bien regarder ». Livré à mes seules ressources, je ne retrouve pas le raisonnement par récurrence dans toutes les démonstrations mathématiques. Il semble d'ailleurs reconnaître implicitement qu'il n'intervient en algèbre qu'accidentellement; mais l'algèbre est purement « analytique » (terme équivoque, source inépuisable de méprises) ; elle n'opère que des « transformations ». C'est grâce au raisonnement par récurrence que l'algèbre élargit son domaine ; on le retrouve en effet au début de l'analyse infinitésimale. Il intervient chaque fois que la mathématique franchit un fossé et s'annexe un territoire nouveau. Tant qu'elle se borne à exploiter le domaine conquis, sans l'étendre, elle n'en fait point usage, mais aussi elle n'avance pas, elle transforme.

Je crois que Poincaré s'est trompé. Le raisonnement par récurrence est une forme de raisonnement très spéciale et très reconnaissable : il y a en algèbre des démonstrations véritables et générales qui ne s'y ramènent point. Les transformations algébriques peuvent servir à démontrer des propositions nouvelles ; elles ne consistent pas à piétiner sur place ; elles avancent.

164. — Deux raisons empêchent de voir dans le raisonnement par récurrence le type unique de la démonstration générale et généralisante : 1° il ne s'applique qu'à la série des nombres entiers ; — 2° Il contient au moins une démonstration, dont il est, par conséquent, impuissant à rendre compte.

i*' Il ne s'applique qu'à la série des nombres entiers.

Mais tout se réduit à cela ! répondra-t-on. Les mathématiques se sont de plus en plus arithmétisées (Valeur de la Science. Paris, Flammarion, p. 20). Poincaré construit la continuité, construit les dimensions de l'espace, réduit la géométrie au calcul des fonctions. « Le géomètre fait de la géométrie avec de l'étendue comme il en fait avec de la craie; aussi doit-on prendre garde d'attacher trop d'importance à des accidents qui n'en ont souvent pas plus que la blancheur de la craie » (La Science et l'Hypothèse, p. 29).

Je ne conteste pas l'avantage qu'il y a à dégager des relations pures, plus générales, plus abstraites, des intuitions spatiales dans lesquelles on les a d'abord considérées, et à les dériver les unes des autres par une voie indépendante de la considération des figures. Lorsque, par exemple, M. Riquier propose, radicalement, de renoncer à la géométrie intuitive comme à une méthode surannée, trop étroite et désormais inutile S et de la rayer de la liste des sciences, puisqu'on peut, par l'analyse infinitésimale, en établir toutes les propositions ou des propositions qui les contiennent, je ne songe pas du tout à protester, ni même à m'étonner. Lorsque Poincaré nous décrit deux types d'esprits mathématiques, les géomètres intuitifs et les analystes, je comprends sa préférence pour les * seconds. Mais si l'esprit analytique de M. Hermite représente la perfection du pur esprit mathématique, M. Bertrand était un mathématicien tout de même. Les Eléments d'Euclide contiennent des démonstrations générales et des chaînes de démonstrations de plus en plus générales. Les géomètres intuitifs raisonnent, et leurs raisonnements sont concluants. Quand le mathématicien les désapprouverait d'employer des méthodes intuitives alors qu'ily en a de plus générales et de plus abstraites, et, selon les termes de Descartes, de n'exercer leur entendement qu'en fatiguant leur imagination, le logicien ne pourrait refuser d'examiner leurs démonstrations. Et il faut bien reconnaître que la généralisation n'y consiste pas à étendre à la série infinie des nombres entiers une propriété vérifiée pour l'un deux.

On pourrait penser qu'en géométrie, le raisonnement par