I. Revue de Métaphysique, 1900, p

récurrence se rencontre, plus ou moins dissimulé, dans tous les cas où une propriété générale se démontre à l'aide d'un cas spécial privilégié, car la démonstration de la propriété générale consiste à étendre à une série infinie de cas ce qui a été démontré ou vérifié pour l'un d'eux, en sorte que l'idée de la série indéfinie des nombres y intervient. Ainsi, quand on démontre que la somme des angles d'un polygone de n côtés est égale à i{n — 2) angles droits, on omet souvent de démontrer, l'intuition de la figure étant considérée comme suffisante, qu'en joignant un sommet à tous les autres, on a décomposé le polygone en autant de triangles qu'il a de côtés moins deux. On pourrait remarquer que, si on remplace un côté du polygone par une ligne brisée à deux segments, de façon à obtenir /i -f- I côtés, le nombre des triangles est aussi augmenté d'une unité. Si donc il est vrai que la somme des angles d'un polygone de n côtés est égale à 2(72 — 2) angles droits, il en résulte que la somme des angles d'un polygone de «-j-i côtés est égale à 2[(/î-f-i) — 2] angles droits. Mais il n'est pas nécessaire de procéder ainsi. On peut se borner à remarquer que le sommet choisi pour point de départ des lignes de construction étant déjà joint aux deux sommets voisins par des côtés du polygone, deux des triangles construits auront toujours deux de leurs côtés formés par deux côtés du polygone et qu'ainsi le nombre des triangles sera toujours égal à /i — 2. Du reste, ce mode de construction n'est toujours possible que pour les polygones convexes. Il est donc préférable de joindre un point intérieur 0 convenablement choisi à tous les sommets du polygone. On obtient alors autant de triangles que le polygone a de côtés ; et, comme la somme des angles de tous ces triangles se divise en deux parties, l'une qui est la somme des angles du polygone, l'autre, la somme des angles adjacents autour du point 0, toujours égale à k angles droits, la première de ces deux sommes est toujours égale à 2/i — 4 angles droits. Il n'y a point ici de raisonnement par récurrence. On ne passe pas, par une opération qui n'admet pas de limite, d'un nombre au nombre suivant. On démontre que le nombre des triangles construits est égal, quel qu'il soit, au nombre des côtés du polygone.

2" La deuxième raison est plus décisive encore. Le raisonnement par récurrence contient au moins une démonstration.

LE RAISONNEMENT DÉDUGTIF 263

Et elle est bien plus importante que le passage progressif d'un nombre au nombre suivant ; car en démontrant que la propriété supposée vraie pour m estvraie pour w-j-i, on démontre précisément la légitimité de ce passage. IL Poincaré s'est défendu de réduire tout raisonnement mathématique au raisonnement par récurrence ; il y voyait seulement le procédé de généralisation du mathématicien. Il semble penser que la science fait une série de bonds, grâce à ce procédé ; dans les intervalles, l'algèbre « n'opère que des transformations ». INIais quand la démonstration ne va pas du spécial au général, elle va de l'hétérogène à l'hétérogène. Le syllogisme l'explique aussi peu dans un cas que dans l'autre. La propriété vraie pour m-\r \ n'est pas contenue dans la'propriété supposée vraie pour m ; elle se construit a^ec la propriété supposée vraie pour m.

165. — La démonstration géométrique généralise de deux manières : i^ Toute démonstration va du singulier au général, et consiste à établir une relation nécessaire entre deux propriétés hétérogènes ; ce qui ne peut se faire par aucun syllogisme ni par aucune composition de syllogismes. 2" Certaines démonstrations vont du spécial au général, ce qui ne peut pas davantage s'expliquer par le raisonnement syllogistique.

i" Pour démontrer que, dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux, on exfolie, pour ainsi dire, le triangle, on le détache de lui-même, par la pensée, et on le réapplique, en le retournant, sur la trace qu'on le suppose avoir laissée sur le tableau. On observe alors que l'angle compris entre les côtés égaux coïncide nécessairement avec sa propre trace, que chaque côté de cet angle coïncide avec la trace de l'autre côté qui lui est égal. La coïncidence du 3^ côté résulte de ce principe que deux points ne peuvent être joints que par une seule ligne droite. On constate enfin que chacun des angles opposés aux côtés égaux coïncide avec la trace de l'autre. La démonstration a consisté, on le voit, en une opération et en la constatation du résultat obtenu.

Il va sans dire qu'il ne s'agit pas d'une opération manuelle — du moins il n'est pas nécessaire qu'elle soit manuellement exécutée — mais d'une opération mentale, et qu'il ne s'agit pas d'une constatation physique, telle qu'on pourrait la faire

avec des instruments de mesure, mais d'une constatation logique^. Toutes les démonstrations géométriques (je ne parle, pour le moment, que de la géométrie intuitive) se font sur des exemples. C'est qu'on ne démontre qu'en opérant; or une opération (construction, superposition, rotation, etc.) ne peut être exécutée, même mentalement, et le résultat d'une opération ne peut pareillement être constaté, que sur une figure singulière.

Le raisonnement géométrique n'est jamais purement con^^ templatif ; il est actif et constructif; et c'est l'activité constructive de l'esprit qui fait apparaître un résultat nouveau. Une pensée purement contemplative ne saurait découvrir dans son objet autre chose que cet objet même, passer d'une propriété à une autre propriété ; elle pourrait découvrir dans un principe général les propositions plus spéciales, plus restreintes, implicitement affirmées en lui ; elle ne saurait y découvrir les conséquences qui n'y sont pas, mais qui en résultent, qu'il ne contient pas, mais qu'il entraîne, apercevoir une relation nécessaire entre des propriétés hétérogènes ; elle serait donc incapable de faire aucune démonstration. D'ailleurs, tant qu'elle se borne à contempler le principe, il n'en résulte rien. Mais les propositions générales, qui ne sont que des vérités quand on se borne à les contempler, deviennent des règles quand on opère (2) ; une pensée agissante et opérante qui prend ces vérités pour règles pratiques de son action, peut constater le résultat nouveau qu'elle a elle-même construit (102).

Ce résultat, bien que constaté, est pourtant nécessaire. C'est que l'opération a été exécutée conformément à des règles. Sont règles de l'opération, d'abord les définitions générales et les hypothèses spéciales qui déterminent la question, c'està-dire les conventions que l'esprit a faites avec lui-même, et par lesquelles il s'est lié; et, déplus, chaque fois qu'il y a lieu d'y faire appel, les propositions antérieurement établies. Le résultat constaté est nécessaire dans la mesure où il est déterminé par l'application des règles. Il reste contingent et

I. La constatation logique et la vérification ont ceci de commun qu'elles portent sur de» cas singuliers, en quoi elles se distinguent de la démonstration. La constatation logique est la constatation du résultat obtenu par une opération logique ; la vérification n'est pas tout à fait aussi simple ; elle consiste à constater que le même résultat est obtenu par deux opérations différentes.

modifiahlc clans la mesure où il dépend des sinr^nilarités de l'exemple choisi. Et c'est pourquoi il est général. Le géomètre a toujours présente à l'esprit, quand il raisonne sur une figure, la distinction entre celles des propriétés de cette figure qui sont formellement énoncées dans l'hypothèse et celles qui, n'étant pas spécifiées, demeurent indéfiniment variables. Toute opération qui n'est réglée que par les premières pourra être répétée, avec le même résultat, sur toute figure différente qui réalise l'hypothèse, quelles que soient ses propriétés singulières. L'opération qui consiste à détacher le triangle isocèle du plan du tableau et à le réappliquer retourné sur sa propre trace pourra toujours être répétée sur n'importe quel triangle isocèle et elle donnera toujours le même résultat, la coïncidence des angles opposés aux côtés égaux, car j'ai pris pour règle de cette opération l'égalité de deux côtés, et point du tout la valeur absolue, ni, sauf cette hypothèse, la valeur relative des côtés ni des angles.

Il peut paraître surprenant qu'une constatation ait un caractère de nécessité. Gela est impossible, en effet, quand il s'agit d'une constatation empirique ; c'est que le savant qui observe, le physicien par exemple, enregistre les manifestations de forces qui lui sont étrangères. La nature opère sous ses yeux, selon des règles ou lois qu'il ignore et qui sont précisément l'objet de sa recherche. Le géomètre, au contraire, opère luimême, selon des règles qu'il connaît puisqu'il les a choisies, dont il sent constamment la contrainte, qui le dirigent toujours et souvent lui résistent ; et, en fait, il n'a jamais d'autre garantie de la nécessité de ses résultats que la conscience d'avoir observé ces règles.

On le voit, dans le raisonnement mathématique, la généralité est une conséquence de la nécessité. C'est bien là, d'ailleurs, le caractère essentiel du raisonnement déductif. 11 consiste à apercevoir d'abord qu'une relation est nécessaire, d'où il résulte qu'elle est générale. Le raisonnement inductif, au contraire, consiste à établir, par une suite d'opérations au bout de laquelle est une observation de fait, une constatation empirique, qu'une relation est constante ; on peuten inférer qu'elle est nécessaire, car il n'est pas supposable que le hasard et la contingence produisent l'uniformité parfaite. Mais cette nécessité n'est qu'inférée ; elle demeure cachée, insaisissable, elle

n'est pas aperçue par l'esprit, tant qu'on s'en tient au raisonnement inductif.

Aussi ne saarais-je protester trop énergiquement contre l'emploi du mol induction, même modifié par un qualificatif (induction mathématique, induction complète) pour désigner le raisonnement mathématique en tant qu'il généralise. Il est faux que tout raisonnement déductif procède « du général au particulier » ; il est faux que tout raisonnement qui procède « du particulier au général » soit inductif. Si l'on donne le nom d'induction à tout raisonnement qui généralise, il ne restera plus rien qu'on puisse nommer déduction, car tout raisonnement véritable fait acquérir une connaissance nouvelle. Le syllogisme n'est pas, à proprement parler, un raisonnement, mais une partie de raisonnement, un temps, une articulation du raisonnement. Quand, faisant appel à un principe général, on éprouve le besoin d'en faire, pour ainsi dire, la monnaie, de n'en retenir qu'une partie, celle qui concerne l'objet dont on s'occupe, c'est qu'on veut aller plus loin, et, en faisant usage du principe, faire apparaître une conséquence nouvelle, augmenter son savoir. Le raisonnement n'est achevé que quand l'esprit, prenant le principe ainsi spécialisé pour règle de son opération, a construit une nouvelle propriété.

2° La démonstration géométrique généralise aussi d'une autre manière, en allant du spécial au général. Il arrive souvent qu'on ne peut pas démontrer d'emblée une proposition sous sa forme générale; on la démontre d'abord pour un cas spécial privilégié, auquel on ramène ensuite le cas général. Le cas spécial privilégié présente cet avantage, que, précisément à cause de ses propriétés spéciales, il permet des opérations, par exemple des constructions qui ne peuvent être exécutées sur le cas général. Ainsi on démontre d'abord que la somme des angles d'un triangle est égale à 2 angles droits, parce qu'une certaine construction qui assimile les angles du triangle à des angles adjacents d'un côté d'une droite, est possible pour le triangle, tandis qu'une construction analogue ne peut être faite pour un polygone de plus de trois côtés. Le cas privilégié est ordinairement^ plus simple, c'est-à-dire constitué par

I. Ceci n'est pas une règle absolue. Le côté de l'hexagone régulier et celui du décagone régulier présentent avec le rayon du cercle circonscrit des relations spéciales qui peuvent servir à passer au triangle équilatéral et au pentagone régulier.

un moins cri'i^ntl nombre d'éléments difTérents. Le trian^rlc est le plus simple des polygones; les figures régulières sont plus simples que les figures irrégulières.

La propriété démontrée pour le cas spécial privilégié ne peut pas être étendue immédiatement au cas général, puisque l'opération qui la démontre a pris pour règle quelque propriété spéciale du cas privilégié. Une démonstration est nécessaire. Mais la théorie précédemment exposée en rend compte parfaitement, car cette démonstration consiste toujours à construire le cas général en partant du cas spécial. Ainsi, dans l'exemple qui vient d'être cité, on construit la somme des angles du polygone avec la somme de tous les angles de tous les triangles en lesquels on l'a décomposé.

166. — J'ai pris mes exemples dans la bonne vieille géométrie euclidienne. Mais, me dira-t-on sans doute, votre théorie met justement en pleine lumière l'imperfection de cette géométrie intuitive, qui n'arrive que péniblement à des propositions générales, et qu'à des propositions relativement générales. Elle fait un constant appel à l'intuition, et ne s'affranchit jamais de la considération de figures singulières. Il lui faut un tableau noir et de la craie, non pas comme à l'algèbre, pour écrire ses raisonnements, mais pour réaliser les objets mêmes sur lesquels elle raisonne. Il en résulte qu'elle ne peut procéder que par constatations; elle généralise ensuite comme elle peut. Aussi ne parvient-elle jamais, comme l'analyse, à établir des relations purement abstraites, indépendantes de toute intuition, empirique ou autre, et qui restent vraies en elles-mêmes, quand même on ne dispose d'aucune intuition à laquelle on puisse les appliquer. Le vrai mathématicien la remplace par le calcul des fonctions de trois variables indépendantes, et comme rien ne l'oblige, sinon une raison de commodité, à se limiter à ce nombre de trois variables indépendantes, il conçoit la géométrie euclidienne comme un cas spécial d'une géométrie générale. Griice à l'analyse algébrique, il dégage les relations abstraites des intuitions spatiales en lesquelles on les a d'abord considérées, et les déduit directement les unes des autres. Sans doute, la géométrie intuitive conserve toute sa valeur pédagogique, car les débutants doivent refaire « rapidement, mais sans brûler d'étapes, le chemin

qu'ont parcouru lentement les fondateurs de la science ». Mais le mathématicien exercé ne se satisfait plus de ces opérations mentales qui, sans avoir besoin d'être manuellement exécutées, sont pourtant ce qu'il y a de plus voisin des opérations manuelles, de ces constatations logiques, qui, sans être des constatations empiriques, ne peuvent pourtant se passer de l'intuition. Les méthodes analytiques sont à la fois plus abstraites, plus générales et plus rigoureuses. La géométrie intuitive est à peine une science mathématique.

Or toutes les branches des mathématiques pures se réduisent au calcul des nombres entiers, et les règles du calcul des nombres entiers, comme les règles de chacune de ses extensions successives, se démontrent par la méthode de récurrence. C'est donc bien là le seul raisonnement vraiment et purement mathématique.

Je réponds que la théorie ci-dessus exposée s'applique exactement à toutes les démonstrations de l'arithmétique, de l'algèbre, de l'analyse infinitésimale, tandis que le raisonnement par récurrence, à moins qu'un déguisement ne le dissimule, est un mode de démonstration spécial et relativement rare ; je réponds en outre qu'elle s'applique au raisonnement par récurrence lui-même, et qu'elle est nécessaire pour en rendre compte.

i** On s'abuse quand on dit que le calcul algébrique, consistant en de simples tîmnsfor mations, est purement analytique et n'introduit rien de nouveau. L'algèbre n'a pas d'autre objet que la forme des expressions algébriques, et ses démonstrations ne peuvent pas se rapporter à autre chose. La forme des expressions y est la matière de la science. Toutes les propositions de l'algèbre énoncent qu'une certaine forme résulte nécessairement d'une autre forme. Pour établir ces relations nécessaires entre des formes hétérogènes, on ne découvre pas que la seconde était contenue dans la première. Si cela était, il n'y aurait pas de démonstration à faire, mais une simple application, autrement dit, pas de raisonnement, mais un simple syllogisme. La démonstration consiste à construire la nouvelle forme en partant de la première. Le calcul algébrique est ainsi exactement comparable à la construction géométrique. On est trop porté à voir dans les transformations de formules et les constructions géométriques des opérations accessoires

qui préparent et précèdent le raisonnement ou qui le suivent et en résultent; elles en sont les éléments constituants et essentiels. L'opération constructive fait apparaître un résultat nouveau, la règle garantit qu'il est nécessaire.

« L'esprit ne comprend pleinement, aimait à répéter A. lïannequin, que ce qu'il peut construire. »

Il n'y a pas de proposition d'arithmétique ou d'algèbre qui ne se démontre au moyen d'une opération ou d'une série d'opérations. Toute proposition à démontrer se compose d'une hypothèse et d'une conséquence ; la conséquence n'est ni identique à l'hypothèse, ni contenue dans l'hypothèse ; elle lui est donc hétérogène ; le seul moyen de démontrer qu'elle en résulte, c'est de construire la conséquence en partant de l'hypothèse.

2° La connaissance du résultat d'une opération arithmétique ou algébrique est une constatation logique ; après avoir obtenu un par un les chiffres successifs d'une somme, d'une différence, d'un produit, d'un quotient, on constate \q résultat « trouvé » par une « lecture ».

3" On juge que le résultat obtenu est nécessaire parce qu'on est convaincu qu'on a opéré selon les règles, qui sont: i" les conventions logiques, c'est-à-dire les définitions et les hypothèses ; 2" les propositions générales antérieurement démontrées. Mais le résultat n'est nécessaire que dans la mesure où il est déterminé par les règles. A l'égard des propriétés singulières, non spécifiées par les hypothèses, des quantités ou des formes sur lesquelles on a opéré, il demeure parfaitement souple et indéfiniment modifiable. Comme le géomètre, l'analyste discerne sans effort et sans peine, dans ses formules, ce qui est nécessaire de ce qui ne l'est pas.

Pour démontrer que le carré de la somme de deux quantités est égal à la somme des carrés de chacune d'elles, plus leur double produit, on effectue l'opération (a-\-U)^\ on constate la forme du résultat ; et, comme on a pris pour règle, en faisant l'opération, la forme de l'expression a-\-b, et nullement la valeur ou la nature des deux quantités a et b^ on sait que, quelles que soient ces deux quantités, numériques ou non, connues ou inconnues, commensurables ou incommensurables, de quelque manière qu'elles soient composées, on obtiendra toujours un résultat de même forme.

La démonstration arithmétique, algébrique, analytique est donc de même nature que la démonstration géométrique.