Revenons maintenant au raisonnement par récurrence

Nous avons vu qu'il se compose de deux parties, i** On démontre que, à supposer qu'une propriété soit vraie pour un nombre quelconque n, elle est vraie pour /i -}- i. Cette démonstration est entièrement semblable à toutes les autres démonstrations ; elle consiste à établir qu'une conséquence résulte d'une hypothèse, et pour cela on fait une opération, on construit la conséquence en partant de l'hypothèse. Ainsi, dans l'exemple cité plus haut, on multiplie les deux termes de l'inégalité

(i) (i + :c)">H-/ia

par iH-a, on obtient l'inégalité

Voilà une démonstration qui ne peut s'expliquer par le raisonnement par récurrence, puisqu'elle en est une partie essentielle.

2** On vérifie que la propriété (i) est vraie pour un certain nombre, qui est, dans l'exemple choisi, le nombre 2. Donc elle est vraie pour 2 + 1, pour S-f-i» et ainsi de suite indéfiniment.

De ces deux parties de la démonstration par récurrence, M. Poincaré envisage surtout la seconde. Comme il s'agit de comprendre le passage du singulier à l'universel, son attention a surtout été attirée par l'opération qui part du nombre singulier, I ou 2 ou quelque autre, et passe au nombre suivant, puis au nombre suivant encore, et ainsi de suite indéfiniment. Mais c'est la première partie du raisonnement qui'est la plus importante: c'est mon droit de généraliser que j'ai démontré.

Aussi, par une étrange contradiction, M. Poincaré, qui a si fortement montré l'impuissance du syllogisme à expliquer les généralisations mathématiques, ne laisse pas de réduire son raisonnement par récurrence à une série de « syllogismes en cascade » (La Science et V Hypothèse, p. 20). Voilà donc la démonstration mathématique de nouveau ramenée au syllogisme ! — Or le syllogisme remplit ici sa fonction propre qui est, non de découvrir une vérité nouvelle, mais de faire usage de celles

que l'on possède. Après avoir démontré mon droit de généraliser, je l'exerce, une vérification m'en ayant fourni l'occasion. Une fois en possession de ce principe que, dès qu'une certaine propriété sera établie par un nombre n^ j'aurai le droit de l'étendre à n-\-\^ j'applique ce principe, et je procède par syllogismes. Mais tout l'intérêt est de savoir comment j'ai obtenu le principe.

168. — Autre contradiction : avec grande raison, M. Poincaré déclare {La Science et l'Hypothèse, p. lo) que faire appel à des jugements synthétiques a priori, « ce n'est pas résoudre la difficulté, c'est la baptiser ». Et cependant le principe de la démonstration par récurrence est pour lui un jugement synthétique a priori, et même « le type véritable des jugements synthétiques a priori ».

Ce principe le voici : Si, à supposer qu'une propriété soit vraie pour un nombre quelconque n, on a démontré qu'elle est vraie pour n-\-i, si, en outre, on a vérifié qu'elle est vraie pour le nombre i, elle est vraie pour tous les nombres. Mais comment un jugement synthétique a priori peut-il faire mention de la série indéfinie des nombres entiers, qui est construite par l'esprit ?

Ce qui caractérise la théorie que je viens d'exposer, c'est l'importance qu'elle attribue à l'activité constructive de l'esprit. Sans doute, si Ton considère la pensée comme une sorte de fonction contemplative, toute généralisation suppose quelque principe contenant implicitement tout ce qu'on en pourra tirer. Si l'on ne fait pas consister la synthèse dans l'opération constructive d'une pensée agissante, la synthèse ne peut être que donnée d'avance, et l'esprit ne peut que déduire analytiquement et détailler le contenu d'une vérité fondamentale, laquelle d'ores et déjà enveloppe en puissance tout le savoir possible. L'universelle vérité est donnée; le détail des vérités s'obtient par voie de spécification et d'inventaire.

M. Poincaré n'est pas loin de cette conception quasi platonicienne de la science. Il va jusqu'à dire que le principe du raisonnement par récurrence est « l'intuition du nombre pur ».

L'intuition du nombre pur! Mais qu'est-ce que le nombre pur? Ce n'est certes pas le nombre abstrait. Serait-ce le nombre en général, le concept de nombre? A ce mot, toutes

les impossibilités dirimantes du conceptualisme surgissent devant mon esprit (5i). Le nombre qui n'est aucun nombre ! Je ne connais pas le concept de nombre ; je ne connais que la suite indéfinie des nombres; et cette série, je ne me la représente pas, je ne la conçois pas, je ne la pense pas ; je sais seulement que rien ne m'oblige à arrêter l'opération qui la construit. Mais, de quelque façon que l'on conçoive le nombre pur, en quel sens peut-on dire qu'il est une intuition?

Au fond du présent débat, on reconnaît sans peine la vieille querelle sur la nature de l'idée d'infini. Est-elle positive ou négative ? Est-ce le fini qui dérive de l'infini par l'introduction de la limite ou l'infini qui dérive du fini par la suppression de la limite ? Si l'infini est positif, il ne peut être donné que tout entier en une fois, sous la forme d'un concept a priori; il est pour la pensée un objet de contemplation. Si, au contraire, l'infini est purement négatif, s'il n'est que la possibilité de poursuivre ou de répéter une opération sans être arrêté autrement que par la fatigue, l'ennui ou l'inutilité, comme il n'est jamais actuel ni même actuellement pensé, il ne suppose aucune notion ni aucun principe a priori.

169. — Il faut pénétrer plus avant dans la nature du raisonnement.

Démontrer, c'est construire. On ne démontre que des jugements hypothétiques ; car seuls ils expriment la nécessité d'une relation. Pour démontrer qu'une hypothèse entraîne une conséquence, on construit la conséquence a{>ec l'hypothèse.

Les opérations constructives ne sont pas des opérations de l'esprit, mais des opérations exécutées mentalement. En leur essence elles sont des actions externes, par exemple des mouvements. On ne fera aucune difficulté de l'admettre en général s'il est prouvé qu'il en est ainsi dans les plus abstraits et les moins empiriques de tous les raisonnements. Les opérations arithmétiques se firent, jusqu'à l'invention de la numération écrite décimale, au moyen de jetons ou, comme l'indique encore le mot calcul, de petites pierres. Les abaques et autres systèmes de calculs tout faits, les règles à calculer, sont des perfectionnements qui permettent d'abréger ces opérations manuelles et sont encore des opérations manuelles. Addi-

LE RAISONNEMENT DÉDUGTIF 273

tionner, c'est primitivement réunir plusieurs tas en un seul et compter ce tas unique. Pour que des objets puissent être soumis au calcul, il faut définir relativement à ces objets l'unité et l'addition; or définir l'unité et l'addition relativement à une catégorie d'objets, c'est définir la technique opératoire, le dispositif expérimental, la manœuvre, la manipulation qui permettent, relativement à ces objets, la constatation empirique de l'identité et de la somme (4o). Ce qui caractérise le raisonnement, c'est que ces opérations ne sont exécutées que mentalement, et la constatation empirique y est remplacée par la constatation logique du résultat.

En géométrie, l'importance des constructions graphiques n'a échappé à personne, mais les logiciens sont enclins à n'y voir que des opérations auxiliaires ou préparatoires du raisonnement. Elles sont le raisonnement lui-même. Il en est de même de toutes les opérations de plume qui interviennent dans les raisonnements de l'algèbre. Les opérations du raisonnement géométrique ne consistent pas seulement à tracer des lignes nouvelles, mais aussi en des translations, superpositions, rotations, déformations, etc., de figures, enfin en des mesures ; or toute mesure indirecte doit pouvoir se ramener à des mesures directes, c'est-à-dire empiriques. Ces opérations, manuellement exécutables, et manuellement exécutées dans les applications techniques (taille des pierres, dessin graphique, etc.), sont exécutées mentalement dans le raisonnement géométrique.

Le raisonnement consiste aussi à exécuter mentalement des opérations d'agents naturels, par exemple le soulèvement d'une colonne de mercure par la pression d'un gaz, la décomposition d'un corps par l'action électrolytique, etc., et aussi des opérations d'agents intelligents, par exemple la réduction de la demande par l'effet de la concurrence ; même des opérations tout intérieures et psychologiques, comme lorsqu'un juge apprécie les mobiles d'un crime ; enfin des raisonnements, comme lorsqu'un historien de la philosophie reconnaît qu'une lacune, une incohérence, une obscurité ou une confusion rend un système instable et doit nécessairement en amener un remaniement ou provoquer une réaction. Si variées qu'elles soient, ces opérations, mentalement exécutées, sont toujours des représentations d'actions objectivées, exécutables GoBLOT. — Traité de Logique. i8

soit dans le monde réel, soit dans un monde abstraitement simplifié, ou même tout à fait fictif, mais toujours distinctes des opérations de l'esprit qui se les représente.

170. — Aucune des opérations constructives ne doit être arbitraire. Le raisonnement est une manifestation de la spontanéité de l'esprit; mais cette spontanéité s'exerce selon des règles, dont l'observation est la seule garantie de certitude, dont la moindre transgression est une cause ou un danger d'erreur. Quelles sont ces règles ? Celles du syllogisme ? Non, car elles n'autorisent ni création, ni invention, ni découverte; elles enferment étroitement l'intelligence dans son savoir acquis, lui permettent de le restreindre, non de l'accroître. Y a-t-il donc d'autres règles de logique formelle que celles du syllogisme ? Non; aucune règle de logique formelle ne peut expliquer l'accroissement du savoir; on a beau transformer sa pensée, on ne l'enrichit pas si on ne l'alimente en y ajoutant de la matière ; et quand les formes ne sont plus formes de la pensée, mais objets de connaissance, comme en algèbre, toute transformation est une nouveauté, un passage de l'hétérogène à l'hétérogène, ou du spécial au général, une création de savoir. La logique formelle ne règle pas seule les opérations du raisonnement; autrement le raisonnement serait indépendant des objets sur lesquels on raisonne.

Les règles des opérations logiques sont les propositions antérieurement admises, soit par évidence immédiate, soit par démonstration, soit à titre de postulats ou de conventions logiques. Elles sont de deux sortes, et se rapportent les unes à la possibilité des opérations, les autres à la nécessité de leur résultat. Car pour qu'il suffise de les exécuter mentalement, il faut savoir qu'elles sont possibles, et ce qui résulte de chacune d'elles. Chaque application d'une règle est un syllogisme, car il faut bien restreindre le principe qu'on applique au cas auquel on l'applique. Mais c'est l'opération accomplie selon la règle qui construit la conséquence.

171^ — Ainsi, démontrer que la somme des angles d'un triangle est égale à deux angles droits, c'est construire, avec trois angles égaux à ceux du triangle, une somme d'angles qu'on sait égale à deux angles droits. Cette démonstration

s'appuie sur des théorèmes antérieurement démontrés, qu'on applique par syllogisme :

Par un point donné on peut toujours mener une parallèle à une droite donnée (possibilité de l'opération) et on n'en peut mener qu'une (nécessité du résultat) ; donc par un sommet A du triangle ABC, je puis mener une parallèle au côté opposé BC, et cette droite AD sera unique.

Il s'agit ici d'une construction graphique ; mais construire la conséquence, ce n'est pas résoudre un problème de construction. La parallèle AD est ici un moyen d'obtenir, adjacent à l'angle BAC, un angle CAD égal à l'angle C, puis, adjacent à l'angle CAD, un angle DAE égal à l'angle B. L'égalité des angles résulte par syllogismes de l'application de théorèmes antérieurs, mais l'essence du raisonnement est la construction d'une certaine somme d'angles.

Démontrer que dans toute proportion le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, c'est construire avec la proportion l'égalité de ces deux produits.

Soit la proportion

Une fraction ne change pas de valeur quand on multiplie

ses deux termes par une même quantité ; donc la fraction — ne

changera pas de valeur si je multiplie ses deux termes par d^

non plus que la fraction — si je multiplie ses deux termes

par b. Le but de cette double opération est d'écrire

ad bc

. Jd ~bd et par suite ad=. bc.

Le raisonnement par récurrence est une manière spéciale de construire la conséquence avec l'hypothèse. Quand il s'agit de démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les nombres, il est naturel de retrouver dans la démonstration l'opération même qui a servi à construire la série infinie des nombres.

173. — DuhameP s'étonne de l'importance donnée par les logiciens au syllogisme, opération si simple qu'elle méritait à peine d'avoir un nom. C est, dit-il, Vart de diriger les syllogismes qui est tout le raisonnement. L'esprit dirige en effet ses opérations. Entre toutes celles qu'il sait être possibles, il choisit en toute liberté celles qu'il juge propres à le conduire à ses fins, et cette liberté laisse un champ quasi illimité à Vin- \>ention logique. Cet art est aussi libre que celui du peintre, du musicien, du poète, et il n'est pas moins créateur ; c'est au sens littéral un art poétique, r.z\r{z\7S^^ 'iyyr,. Le génie est la généreuse audace et la fière assurance d'un esprit qui ne craint pas de s'aventurer, parce qu'il sait se conduire. Les règles ne sont pas pour le raisonnement des entraves, mais des leviers. Chaque vérité construite est un instrument pour en construire d'autres ; à mesure qu'il avance, l'esprit forge lui-même ses outils pour quelque nouvelle opération, outils d'autant meilleurs qu'ils ont plus de rigidité et de précision, qu'ils varient et fléchissent et s'émoussent moins entre les mains qui les manient. L'inflexibilité des règles assure la liberté de l'esprit qui raisonne, comme la dureté de l'acier celle de l'ouvrier.

En résumé, il y a un syllogisme dans chacune des démarches de la pensée raisonnante, car, sauf les réserves que nous allons faire bientôt relativement à l'usage des hypothèses (178, 187), aucune de ces démarches ne doit être arbitraire ; mais aucune d'elles ne se réduit à un syllogisme, car chacune doit être un progrès positif. Le raisonnement doit au syllogisme sa nécessité, à la spontanéité créatrice de l'esprit sa fécondité.

I. Des méthodes dans les sciences de raisonnement. Paris, Gauthier- Villars, t. I«f, i, 6-8.