DEUXIÈME PARTIE. CHAPITRE II

tentent, ce moyen dispenserait de tout autre. C'est donc à la déduction seule qu'il appartient de résoudre la question au moyen des données que l'on possède, et la série d'arguments employés devra avoir pour conclusion la question elle-même, c'est-à-dire, la proposition qui l'exprime, avec affirmation si elle est vraie, avec négation si elle est reconnue fausse.

245. Comme toute conclusion renferme les deux termes extrêmes qui doivent être affirmés ou niés l'un de l'autre, il faut avec les données que l'on possède, constituer les propositions intermédiaires qui doivent montrer les vrais rapports de ces deux termes, et c'est en cela que consiste proprement la démonstration. Or pour arriver à ce but, on peut suivre plusieurs marches différentes.

1° L'une consiste à prendre pour point de départ un principe général duquel on descend ensuite, à l'aide de principes intermédiaires, jusqu'à la question dont on conclut la vérité ou la fausseté : c'est la démonstration descendante (*) .

2° Une autre consiste à partir de l'objet lui-même et des données qu'il présente pour s'élever de degrés en degrés jusqu'au principe général qui contient l'explication et duquel on conclut la vérité ou la fausseté de la proposition à examiner : c'est la démonstration ascendante (**). Procéder ainsi, c'est toujours rattacher une vérité particulière à un principe général connu : c'est toujours déduire. La forme la plus simple de ce

(*) Exemple. Soit la question : les molécules des corps sont-elles en contact entre elles? Tous les corps sont compressibles et diminuent de volume par le froid ; cela ne se peut qu'en tant que leurs molécules peuvent se rapprocher; et, pour se rapprocher, il faut qu'elles soient distantes; donc elles ne sont pas en contact entre elles.

(**) En voici un exemple, tiré des œuvres de Fontenelle, qui veut prouver l'utilité de l'étude des sections coniques : «La connaissance de ces courbes » a servi à déterminer et à mesurer les révolutions périodiques des astres ; » la connaissance du cours des astres sert à assurer la marche de la naviga- » tion ; la sûreté de la navigation fait prospérer le commerce ; le commerce » favorise les trocs et les échanges; la facilité d'échanger les produits du » travail encourage l'activité et l'industrie,., donc l'étude des sections coni- )) ques est utile.

mode serait un syllogisme dont la mineure précéderait la majeure.

3° Une autre manière consiste non plus à énoncer un principe général, mais à poser la question avec ses données et ses inconnues, dans les rapports qu'indique la]question elle-même, puis à traduire cette première expression en une autre, et ainsi de suite, jusqu'à ce que d'expressions en expressions constamment équivalentes, mais de plus en plus explicites, on arrive enfin à une expression parfaitement explicite dont l'un des termes est V inconnu, et l'autre terme n'a rien que de connu, et par conséquent détermine l'inconnu et démontre sa valeur. On donne à cette manière de procéder le nom d'analyse, de déduction algébrique ou de démonstration algébrique, parce qu'elle est d'un usage constant en algèbre et en mathématiques (*).

4P Enfin, quelquefois encore on admet par hypothèse la proposition contradictoire à celle qu'on veut démontrer, puis on fait voir que cette supposition conduit à une absurdité, c'est-à-dire, à une impossibilité ou à une contradiction, soit avec l'hypothèse elle-même, soit avec quelque vérité déjà -constatée. Et comme deux contradictoires ne peuvent jamais être fausses en même temps, il suit que la contradictoire de la proposition hypothétique doit être vraie. C'est ce qu'on appelle démonstration indirecte, démonstration par l'impossible, ou réduction à l'absurde.

Ainsi il y a quatre espèces de démonstrations, une indirecte, qui est la réduction à V absurde -, trois directes, qui sont : la démonstration algébrique ou analyse, la démonstration ascendante, la démonstration descendante.

11 convient de comparer rapidement ces diverses manières de procéder, et d'examiner leur valeur et les circonstances dans lesquelles il est à propos de les employer.

(*) On en voit des exemples dans tous les ouvrages d'algèbre ; un exemple raisonné se trouve dans Condillac, Loyiq., 2e part., ch. 7.