DEUXIÈME PARTIE. CHAPITRE II

246. La réduction à l'absurde ne doit être employée que quand on ne peut faire autrement , et qu'on ne peut démontrer la question directement. En effet, si une semblable démonstration peut convaincre, elle n'éclaire point, ce qui doit être le but et le résultat de toute démonstration vraiment scientifique, et nous ne sommes point satisfaits si nous ne savons non-seulement qu'une chose est, mais pourquoi elle est : ce que n'apprend point la réduction à l'absurde. Ce mode de démonstration a d'ailleurs l'inconvénient de n'arriver à la vérité qu'à travers l'erreur : inconvénient surtout sensible dans les propositions de géométrie, où on est obligé de donner à cette erreur passagère une sorte de consistance par des figures absurdes. Cependant cette démonstration n'est pas tout à fait à rejeter : elle est quelquefois presque la seule possible, elle abrège souvent, et convient particulièrement à toute proposition contradictoire de quelque autre évidente par elle-même ou démontrée par une autre voie : et alors, cette sorte de démonstration, en réduisant cette contradictoire à l'impossible, tient plutôt lieu d'explication que d'une démonstration nouvelle.

247. Le nom d'analyse, généralement employé dans le sens que nous lui avons donné pour désigner la décomposition d'un objet en ses parties, n'est pas employé moins souvent pour désigner ce mode de démonstration qu'on appelle aussi déduction algébrique • parce qu'en réalité ce mode consiste dans la décomposition des termes de chaque expression, afin de pouvoir faire passer une partie d'un terme dans l'autre, la remplacer par une partie de même valeur, et conserver ainsi jusqu'à la fin le même rapport de convenance et d'égalité entre les termes (*). Si je dis a = x et que ces deux quantités ou idées soient indécomposables pour moi, il n'y a point lieu àraison-

nerpar analyse. Mais si a = — , qui est une quantité décom-

(*) En algèbre, on appelle membres d'une équation, ce que nous désignons ici par termes d'une expression; et, par termes, on entend les parties d'un membre.

posable, je pourrai obtenir 3a = Ax , et par une suite de transformations et de substitutions d'éléments identiques, je devrai arriver à une expression qui offre d'un côté l'inconnue seule, et de l'autre sa valeur en quantités connues. Il est à remarquer que dans l'emploi de ce procédé on n'énonce formellement aucun principe général , et qu'on ne trouve dans ces rapprochements de propositions ou dans cette suite de substitutions qu'une série de comparaisons dont l'objet est de faire voir une série d'égalités. Cependant il est réellement un procédé déductif, et chaque expression n'est substituée à une autre qu'en vertu de cette déduction toujours sous-entendue : deux expressions identiques à une troisième sont identiques entre elles 5 or cette expression est identique à celle qui précède, laquelle était identique à la première, donc elle est ellemême identique à la première. Ainsi l'on voit que Condillac qui plaçait ce procédé au-dessus du raisonnement déductif, a eu le tort de ne pas voir que ce procédé n'a lui-même de valeur que parce qu'il repose sur l'axiome qui sert de base au procédé déductif, et qu'il n'est lui-même qu'un procédé déductif simplifié.

248. Les deux premiers modes, la démonstration ascendante et la démonstration descendante, présentent au contraire la forme déduclivc dans tout son appareil de vérités générales, de vérités particulières et de vérités intermédiaires qui servent à déterminer celles-ci en les rattachant à celles-là précédemment admises ou démontrées. Sous ce rapport, ces deux modes sont parfaitement semblables et il n'y a pas lieu aies comparer; mais sont-ils d'un emploi aussi sûr l'un que l'autre ? Peuventils être indifféremment employés l'un ou l'autre et sans égard aux circonstances? C'est ce qu'il faut examiner.

Quand il s'agit de démontrer ou de vérifier une proposition, toute la difficulté consiste à trouver un principe évident auquel le sujet de cette proposition se rattache par ses données et ensuite à mettre à découvert cette liaison et ce rapport. Si l'on connaît déjà ce principe et les rapports intermédiaires