PENDULE SIMPLE

point 0, pour axe des y la verticale, et supposons que sur cet axe le sens positif soit dirigé de haut en bas. Nous supposons que la masse du fil est négligeable. Soient m la masse du point, g l'accélération du mouvement dû à la pesanteur.

N la réaction du fil, dirigée, au temps t^ suivant MO, si le mobile est en M, 9 Tangle MOy; x, y les coordonnées du point M. Des relations :

on déduit

œ z=z ^sin6,

cPx S . oPô

cosO

dt'

y =1 1 cas 0,

sm -1-2 + cos 6

puis, en vertu des équations (5)

[cos '^ - sin 6 (ly ] = N sin «,

ml I cos

— mn si

IliCAMIQUK.

8ine^Vcose(|y]

— N cos 6 -j- mg.

98 DYNAHItlUK DU POINT MATÉRIEL

J'élimine N entre ces deux équalions, en les ajoulaat membre à membre, après avoir inulliplié les deux membres de la première par cosO, de la deuxième par — sinO ; et Je trouve, après la suppression du fadeur m,

puis, en multipliant les deux membres par-

■ dt' di* ~

et, en intégrant les deux membres, et désig:nant par Sg l'écart initial yO\ ;

g (C08 9 — cos e^)- (7)

Cette formule montre que, pour deux positions du mobile,

symétriques par rapport à Oy, la vitesse angulaire — i et, par

conséquent, la vitesse proprement dite est la même ; car les deux valeurs correspondantes de cos S sont les mêmes. Il s'ensuit que la vitesse sera nulle au point A', symétrique de A, et à partir du moment où le mobile sera venu en A' il décrira le même arc en sens inverse pour revenir jusqu'au point A, et ainsi de suite.

Si l'écart initial est très faible, on peut assimiler le mouvement du mobile H k l'un des mouvements rectilignes que nous avons déjà étudiés. Soit, en eiïel, t la longueur de l'arc BM, compté à partir de son point le plus bas, B, nous aurons j =li; nous pourrons, sans erreur sensible, remplacer sia S par9,

PKNDULE SIMPLE 99

OU par y et l'équation (6) sera la suivante

Supposons Tare A'BA rectifié, suivant le segment rectiligne a'ba [fig, 15); soit z la dislance 6m, égale à Tare BM, le mou-

fl'' If m.

FIg. 15.

vement du mobile m sera identique au mouvement que nous avons étudié (chap. i, § 6j : il suffit en effet, de changer lea notations actuelles pour revenir à l'équation

qui définit ce mouvement.

A cause de la relation que nous avons précédemment établie entre la force, la masse et Taccélération, on peut dire que le mouvement du point m est identique au mouvement d'un point matériel, de même masse que le pendule simple, qui parcourrait le segment rectiligne aba\ sous l'action d'une force attractive, proportionnelle à la distance du mobile au point Gxe b.

La quantité désignée antérieurement par la lettre o) est

une

égale, ici, à i/^ ; il est facile de trouver par là la durée d*

oscillation. (i> est en effet la vitesse angulaire du mouvement d'un point qui se déplacerait sur le cercle ayant pour diamètre aa\ ce mouvement étant uniforme^ et le mobile étant en a^ au temps zéro. La durée d'une oscillation, c'est-à-dire le

iOO DYNAMIQUE DU PO|NT MATÉRIKL

temps nécessaire pour parcourir aha!^ est donc le temps employé par le mobile auxiliaire pour parcourir la demi-

circonférence, savoir -> ou w \/-' Elle est donc proportion-

nelle à la racine carrée de la longueur du pendule, et en raison inverse de la racine carrée de Taccélération de la pesanteur. On voit de plus que Técart initial, ou amplitude de Toscillation^ n'influe pas sur sa durée, si toutefois cet écart est assez faible. Nous allons voir quelle est cette influence lorsque Técart n'est pas négligeable.

!!• De l'équation (7) on déduit :

2y/.in»|-Rin«|

et si Ton pose :

sm ^ = sm -^ sin (p,

on trouve :

^ dt