ÉS

y/l-si

sm* -^ 8in'(p

puis :

en désignant par e^ la somme des termes qui, dans la série ci-dessus, viennent après le n™". Cette somme est inférieure à

i.3.5...2n--l . 0,60 . 1.3.5... 2n4-1 . ..^^i.Qq , . 2.4.«...^ 2 ^ 2.4.6.. .2(n4-l) 2^

PENDULE SIMPLE iOI

et l'on peut choisir n assez grand pour qu'elle soit inférieure à un nombre donné a.

Or, d'après la formule (8)

Mais

est numériquement inférieur à a (^ — ^ n et comme a est aussi petit qu'on veut, t sera égal à la somme de la série:

pourvu que celle-ci soit convergente, chose qu'il est facile d'établir.

En effet, chacune des intégrales définies qui figurent dans

cette série est numériquement inférieure à ^ — ^. Donc la

somme des n premiers termes de la série proposée est numé-

riquement inférieure au produit de â ~~ ? P^"* '^ somme des n

premiers termes de la série

série dans laquelle le rapport d'un terme au précédent a pour limite sin'-^? quand n croit au- delà de toute limite.

On peut trouver la durée d'une oscillation en prenant, pour limites de ces intégrales, — s ®^ + ôî ^"» d'une demi-oscillation, en prenant o et -• Mais on sait que:

*• 1» 7 4.3.5...2n — 1 ir

Donc, en appelant T la durée d'une oscillation, on trouvera, finalement :

-=Vj[('+(î)'''-l+(n)'>^4+(rr:)''^»'^+-]-(»)

12. Dans la pratique, tout corps destiné à osciller, sous l'action de la pesanteur, autour d'un axe horizontal (pendule composé) se compose d'une suite de points matériels qui, physiquement, ne se réduisent pas à un point unique. Mais, par des calculs dont le développement nous éloignerait de notre programme, on démontre que tout pendule composé oscille comme un pendule simple dont il est possible de déterminer la longueur L La mesure de cette longueur, jointe à l'observation de T, a permis de déterminer la valeur de g, à Paris, au moyen de la formule (9). C'est là le principe des expériences de Borda, dont on trouvera la description dans tous les traités de physique.