CHAPITRE IV

DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL {suite)

Travail d'nne foroe dont le point d'applioation se ment en ligne droite. — Travail élémentaire de la résultante de plusieurs forces. — Théorème des foroes vives. — Applications au pendule simple ; — au mouvement oycloïdal d'un point pesant. — Moment des forces par rapport à un axe. — r Moments des quantités de mouvement. — Lignes géodésiques des surfaces de révolution.

1. Si un point matériel, primitivementao repos, ou doué d*uQ mouvement rectiligne et uniforme, est sollicité par une force constante en grandeur et en direction, on nomme travail de cette force pendant un certain temps le produit du nombre qui mesure la force par le nombre qui mesure le déplacement pendant ce temps. L*unité de travail , communément adoptée, est le kilogrammètre ; c'est le travail efiectué par le poids d'un corps pesant un kilogramme, lorsque ce corps décrit un parcours de i mètre, sous Tinfluence de la pesanteur. Si Ton voulait, au contraire, soulever à i mètre de hauteur un fardeau pesant 1 kilogramme, on exercerait sur ce fardeau une action verticale dirigée de bas en haut, et

iOi DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL

égale à son poids. Si, sans cesser d'exercer cette action, on lui communique une impulsion initiale dirigée de bas en haut, et dont laduréesera aussi faible qu*on voudra, le corps pesant montera, et, quand il sera déplacé de i mètre, on dira que la force exercée sur lui a accompli un travail égal et de signe contraire à celui du poids du corps, savoir i kilogrammètre. On nomme travail élémentaire d'une force agissant dans le sens du déplacement de son point d'application le produit de cette force au temps t par le déplacement du point d'application pendant le temps Â/, qu'on suppose infiniment petit. Le travail total pendant un temps fîni sera la limite vers laquelle tend la somme des travaux élémentaires pendant les intervalles infiniment petits dont la succession constitue cet intervalle fini, si l'on suppose que chacun de ces intervalles tend vers zéro. C'est, en d'autres termes, l'intégrale

où F désigne l'intensité de la force au temps f, où les limites sont les distances du point mobile à un point fixe sur sa trajectoire, au commencement et à la fin de cet intervalle, et où la variable œ désigne la distance du mobile k ce môme point au temps t»

Considérons maintenant un point qui se déplace en ligne droite, sous l'action d'une force dont l'action n'est pas dirigée suivant cette droite; tel serait un anneau G, de dimensions très faibles, entourant une tige rigide rectiligne AB {fig, 15 bis), et sollicité à chaque instant par une force F, dont la direction ne coïncide pas avec celle de la droite AB. Pour évaluer le travail de cette force, on conçoit qu'elle ait été remplacée par

TRAVAIL d'une FORCE 105

deux composantes H, G, dont Tune est dirigée suivant la droite AB, Tautre suivant une perpendiculaire à cette droite. On convient de dire que le travail de cette dernière composante est nul, et que le travail de la force F se réduit au travail de sa composante H. Soit F l'expression de la force au temps t^ a l'angle qu'elle fait, à ce moment, avec la direction Â6; lacom-

Fig. 15 biê,

posante H est égale à F cos a et le travail élémentaire, pendant le temps A/, est F cos aAo;, si Ix est le déplacement pendant le temps A/. Mais on peut dire aussi que le produit cos aAâ7 est la projection du déplacement, pendant le temps A<, sur la direction de la force au temps ^, et que le travail élémentaire de la force F est égal au produit des nombres dont Vun mesure la force au temps /, l'autre la projection du déplacement, pendant le temps A^, sur la direction de la force. Quant au travail total pendant un temps uni, il sera égal à

COS acte

cCf^ et X désignant les distances, au début à la fin de cet intervalle, du point matériel mobile, à un point, fixe sur sa trajectoire.

S*il R*agit d'un déplacement curviligne, on substituera à Tare MH^ décrit pendant le temps A^, sa corde MM', et pour évaluer le travail élémentaire de Tune quelconque des forces

qui agissent sur lui, on procédera comme si le déplacement s'était effectué suivant cette corde. Si celle corde fait avec la direction delà force un angle <p, et si Tintensité de la force est F, le travail élémentaire de la force sera Fcos(p. MM', et Ton voit encore que ce produit est égal à Tintensité de la force par la projection du déplacement sur la direction de la force, d*une part, et, d'autre part, au produit du déplacement par la projection de la force sur ce déplacement. Quant au travail total pendant ua intervalle fîni, succession dlntervalles infiniment petits, il est la limite vers laquelle tend la somme des travaux élémentaires pendant ces intervalles, quand leur nombre croît au-delà de toute limite. Pour l'évaluer, on observera que dans Texpression F coscpMM', © a pour limite Tanglea que fait la direction de la force au temps ^, avec la tangente à la trajectoire au point occupé par le mobile au temps l; que Tinfiniment petit MM' est équivalent à la différentielle ds de Tare s parcouru au temps t; de sorte que le travail total pendant un temps fîni est égal à IMntégrale :

cos ads

5^, 5 étant les valeurs de la variable s qui font connaître la position du mobile au commencement et à la fîn de cet intervalle.

2* Théorème. — Le travail élémentaire de la résultante de plusieurs forces agissant simultanément sur un point matériel pendant un temps infiniment petit est égal à la somme des travaux de ses composantes.

En effet, soient F^, Fj, P3 les composantes, M et M' les positions finale et initiale du mobile concernant le temps A/,

TRAVAIL n'oNK FORCE 407

proj F|, proj Fj, les projections des composantes sur la droite HM'. La somme de leurs travaux élémentaires est égale à

MM' X (proj F, + proj F^ + proj F3 + )

Mais le dernier facteur de ce produit étant égal à la projection de la résultante, le produit lui-môme est égal au travail élémentaire de la résultante. C.Q.F.D.

Il s'ensuit que, pendant un intervalle fini, le travail total de la résultante est égal à la somme des travaux des compo* santés. Si Ton décompose, notamment, la force accélératrice du mouvement curviligne d*un point matériel en trois forces parallèles aux axes de coordonnées, on sait que ces forces

sont égales, à chaque instant, à m -j-j> m -rj^y m -j^- Considérons la première d^entre elles, et projetons le déplacement infiniment polit MM' sur sa direction ; soit a Tangle que fait MM' avec Ox ; le travail élémentaire de celte force est :

m. •^- MM' 008 a. (1)

dx Mais quand £it tend vers zéro, cos» tend vers -7- ; Tinfîni-

ment petit MM' étant équivalent à ds, Tinfiniment petit (4) est

, . , , cPx dx , cPx ,

équivalent km-r^- -r-* ces, ou m -nr oo?, ou encore

dt* ds * dr

d^x dx ,

Donc le travail élémentaire de la force accélératrice est égala

f<Px dx cPy dy , ^z dz\ , • \dt^' dt + di^ dt "f" rf/«' dt) ^'

et le travail total, pendant rinlervalle qui s*écoule de t^ à ^ est égal à

ou à

Soient v la vitesse au temps /, v^ la vitesse au temps t^. On appelle force vive du mobile au temps t une quantité qui a pour mesure mv^^ et comme à chaque instant

on voit que l'expression (2) est égale à

v^ — vl m— y-*,

d'où Von conclut le théorème suivant :

La somme des travaux des f07'ces qui agissent sur un point matériel pendant un temps fini est égale à la demi' variation de la force vive pendant le même temps,

8. C'est le théorème de la force vive. On en comprendra toute l'importance par les applications auxquelles il donne lieu. Supposons, par exemple, que Tune des forces agissant sur un point matériel soit sans cesse dirigée vers un centre fixe, et proposons-nous d'évaluer son travail élémentaire. Soient le centre d'attraction [fig. 16), M, M', les deux positions du mobile aux lemps /, ^ 4~ ^^ ^^ = ^i ^^' =