THÉORÈME DES FORGES VIVES

r -|- Ar, MOM' = 6, et soit/' (r) Texpression de la force qui sollicite le mobile vers le point 0. La projection du déplacement MM' sur la direction MO de la force est :

(r -f Ar) cos 6 — r = Ar cos 6 — 2r sin* x»

et cet infiniment petit est équivalent à Ar ; de sorte que le

Fig. 16.

travail élémentaire à Tinslant t est un infiniment petit équivalent à f{r) dr. Le travail de la force considérée est donc :

fhr) dr,

lorsque le mobile passe d'une position dont la distance au point est r^ à une position dont la distance au point estr: de sorte que, si toutes les forces qui agissent sur le mobile sont dirigées vers des centres fixes 0^, Og» O3 ... 0„, et si ces forces sont des fonctions R|, R^, R3 ... R„ des distances r^, r, ...r„du mobile à ces points fixes, la vitesse s*évaluera par la formule

les limites de chacune des intégrales étant les valeurs extrêmes du rayon vecteur correspondant.

iiO DYNAMIQUE OU POINT MATÉRIEL

4* Dans le mouvement d'uo projectile pesant dans le vide, la seule force qui agisse sur le projectile est son poids égal à mg\ la projection du déplacement sur la direction delà force est dz (chap. u, § 5), et le travail élémentaire est sans cesse égal- à mgdz. Le travail total de la pesanteur pendant un certain temps est donc mg {z^ — z)^ z^elz désignant les ordonnées du point mobile an commencement et à la fin de ce temps ; z^ — z est, en grandeur et en signe, le déplace* ment effectué dans le sens vertical pendant ce temps; soit h ce déplacement, l'équation des forces vives devient, après la suppression du facteur m,

i?' — t?J = ^hy ou

V = yf^f+W' (3)

Il y a plus. Si un point matériel pesant est mécaniquement assujetti à décrire une trajectoire donnée, il éprouve, de la part de la matière qui constitue la trajectoire, une réaction dont le travail élémentaire est constamment nul : car la projection de cette force sur la corde de Tare décrit pendant le temps A/ est un infiniment petit d*ordre supérieur, puisque, dans l'expression Fcos cp. MM' (§ 2) le facteur cos <p est infiniment petit avec MM'. Donc le travail total de celte force est nul, et la formule (3) subsiste encore. Ainsi, dans le mouvement du pendule simple (chap. ni, § 10), la vitesse au temps <

étant ^--r-» et la distance h étant égale à Z(cosô. — cos ô^),

Téquation des forces vives sera :

l^ \di) =^(cosô — cosôe);

MOUVEMENT GYGLOIDAL

C'est la formule (7) du chapitre précédent.

5. Si un point matériel pesant est matériellement assujetti à décrire une cycloïde AMBA', et qu'il parte, sans vitesse initiale, de la position M qui répond à la valeur u>q du paramètre (i> [Introduction^ § 2), sa vitesse au point P, qui répond à la valeur co de ce paramètre sera égale à

^ 2ga ( cosft) — eus (Dq)

en vertu delà formule (3) et de Téquation y =: a {i — cosa>), établie en supposant que les y positifs sont comptés de haut en bas. D'ailleurs on connaît la relation

ds =z ^ sin- dta

d*où Ton déduit, en vertu de la formule (3) :

, sm- ao)

g y/cos (Dq — cos o)

Proposons-nous de trouver le temps T que le mobile mettra

Fig. 17.

pour descendre du point M au point le plus bas fi de la cy^

cloïde (fig. 17). On aura, par celte dernière formule,

Tt . (I)

8in- ao)

^ i/ wo V COS (Oo

arc C08

La durée de ce mouvement est donc indépendante de cd^, c'est-à-dire de la position initiale M du mobile. C'est ce q^i'on exprime en disant que la courbe est tautochrone.

Fig. 18.

6. Elle est aussi brachislochrone^ c'est-à-dire que, si Ton cherche la trajectoire qu'il faut imposer à un point pesant pour qu'il parcoure, dans le moins de temps possible, Tare qui sépare deux points quelconques, A, B, de sa trajectoire, on trouve une cycloïde. Voici comment on peut, d'après Jean Bernoulli, ramener la solution de ce problème à des termes relativement simples. Considérons une série de droites horizontales, et supposons qu'un point matériel, partant de A {fig, 18),

BRAGHISTOGHRONE

soit assujetti à se mouvoir entre les deux premières avec une vitesse donnée, r^, entre la deuxième et la troisième, avec une vitesse donnée Vj» et ainsi de suite. Il y a certainement une ligne brisée AMNPR, dont les sommets sont situés sur les parallèles données, et telle que le mobile partant de A et décrivant cette ligne brisée arrive en B dans un temps minimum. Soient MN, NP deux côtés consécutifs de cette ligne brisée ; t?^, Vp+^ les vitesses suivant MN et NP ; le chemin suivi par le mobile pour arriver de M en P par le chemin MNP est certainement parcouru dans le temps minimum ; sans quoi on pourrait substituer à ce chemin un autre chemin MN'P, qui

abrège le temps total mis pour parvenir de A en B. Or, si Ton désigne par h la distance MI (fig. 18 bis), par A' la distance PQ, par i Tangle MNt que fait MN avec la verticale, par t" Tangle ^NP que fait NP avec la verticale, le temps mis pour aller de M en P est :

Fig. 18 6i«.

Vp COS 1