COS
Or les variables i, i" ont entre elles une relation facile à établir :
En effet, soit IQ = K: on aperçoit immédiatement la relation :
Atgi + A'tgt' = K,
lli DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL
et quand le point N se meut sur IQ on a constamment :
cos'* ' . cosV ^ '
Mais, pour que l'expression (4j soit minimum, il faut qu'on
ait:
h sin i , h' sin i' d£
Vp cos H ' 1?;,+ 1 cos ^1 dt '
puis, en vertu de la relation (5) :
sin i sin i' sin MN^ sin NPz' r= j ou = j
Vp Vp+^ Vp Vp^^
et ces deux rapports égaux auront toujours la même valeur, quel que soit p. Si maintenant les parallèles données se rapprochent de plus en plus les unes des autres, et que la valeur de V qui correspond à chacune d'elles devienne une fonction donnée de sa distance à une horizontale fixe, prise pour axe des 0?, la ligne brisée deviendra une ligne courbe dont la tan^ gente, en chaque point, fera, avec la verticale, un angle i, satisfaisant k la condition
va ^ '
a désignant une constante. Supposons Taxe des y vertical et dirigé positivement de haut en bas; désignons par v^ la vitesse du point matériel en un point de sa trajectoire, pris pour origine des coordonnées, nous aurons, en chaque point de la courbe :
» = ^^l + 2^y, sin i = -^j
BRAGUISTOGHRONE US
et par conséquent :
adœ = sjvl 4- ^gy ds ou bien :
(«a ^vl- 2gy) dx^ = \^vl + "k/V) dy^ ou encore :
dœ = ±J^:^^^yZay.
y a^^vl--2gy ^
Nous étudierons spécialement celle des deux courbes qui correspond au radical pris avec le signe + ; c'est celle pour laquelle a? et y augmentent simultanément.
Si l'on pose :
et par conséquent :
1 + W on trouve successivement :
dx-=. — — u.d
Ig 1 + «" et, en intégrant par parties :
-'"''=- |(iTi?-*^*>^8«)= Ê ('''•*=^« "- npiî)
soîl :
arctg « = ^'
Cette équation équivaut à celle-ci :
et réquation qui fait connaître y en fonction de u équivaut à :
2^y=a*— V?— û2cos2|=— r J+a^sin» | =— 1??+~ (1— cosco) ou bien :
Les deux équations (7) et (8) définissent une cycloïde, dont le point de rebroussement a pour abscisse â?o,pour ordonnée
— o^ • 1® rayon du cercle générateur est égal à — • Etant
donnés deux points A, B, de la trajectoire, et la vitesse v^ au point A, on conçoit la possibilité de former Téqualion qui détermine a, et par conséquent le rayon du cercle générateur. Après avoir formé Téquation cartésienne delà cycloïde, par Télimination de cd entre (7) et (8), on y remplacera a?, y, successivement, par les coordonnées des deux points donnés. On obtiendra ainsi deux équations entre lesquelles on éliminera x^ ; Téquation résultant de Télimination déterminera a en fonction de v^. Mais la forme de cette équation est trop compliquée pour qu'il soit intéressant d'y insister, et nous préférons, en terminant, appeler Tattention du lecteur sur un certain mode de décomposition du mouvement cyioïdal d'un point pesant. Des équations (7) et (8j, on déduirait, comme dans l'Introduction :
a* = — sm T- diù .
BRAGHISTOGHRONE
Mais, en vertu du théorème des forces vives, on aura, à chaque instant :
{îf = "î + ^y'
et, à cause de Téquation (8) :
\dl) =-2^^"-'^'''^)=^^*'' 2'
Par suite :
'ds = a sin — dt,
et :
ou encore :
^- diù = dt
diù 2^
dt a
Si donc, par chaque position du point pesant, on fait passer
Fig. 19.
le cercle générateur, on voit que l'arc AM de ce cercle [fig. 19) est proportionnel au temps employé par le mobile pour venir du point 0, origine de la cycloïde, au point M, pourvu qu^au point la vitesse du mouvement cycloïdal soit nulle, comme
as DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL
Texige la formule
dy a^ , dtù -*• = -r- sm (i> -T-»
dt 4g dt
conséquence de la formule (8). D'autre part, la longueur OA, qui est aussi le chemin parcouru par le centre du cercle générateur, est égale à Tare de cercle AM, et Ton en conclut que : Le mouvement cycloîdal d*un point pesant^ posé, sans vitesse initiale^ à Vorigine de la cycloîde, est identique au mouvement d'un point qui décrirait uniformément le cercle générateur^ tandis que le centre de ce cercle se déplacerait avec une vitesse de translation égale à la vitesse du mouvement du point sur le cercle,
7. Pour pouvoir faire une nouvelle application des équations du mouvement d*un point, ilnous faut définir le moment d'une force, d'abord par rapport à un point, puis par rapport à un axe,et étudier quelques-unes des propositions qui s'y rattachent. Le moment d'une force par rapport à un point est leproduitde deux nombres qui mesurent, l'un, l'intensité de la force. Vautre la distance du point à la droite représentative de cette force^ produit affecté du signe-^ ou du signe — , suivant les circonstances que nous allons examiner. Soient F la force [fig. 20) agissant sur le point A, le point considéré, P sa projection sur la droite AF. Supposons qu'un observateur, debout au point 0, sur le plan OAF, regarde dans la direction OP, et que la droite OP représente une tige rigide pouvant tourner autour du point 0, sous l'action d'une force appliquée en P, agissant dans le sens de la force F. Le moment de cette force sera positif si la rotation tend à s'effectuer dans un certain sens ; négatif, si elle tend à s'effectuer dans le sens opposé.
On pourra convenir, par exemple, que les moments positifs correspondent aux rotations dont le sens est celui du mouvement des aiguilles d'une montre ; les moments négatifs, aux rotations dans le sens opposé. Toulefois, dans certaines propositions, nous ferons des conventions pouvant être en désaccord avec celle-là : nous aurons soin de les spéciGer.
Théorème. — Siplusieurs forces, agissant sur un même poinly sont dirigées dans le même plan, la pjg 20.
somme des moments de ces forces
par rapport à un point de ce plan est égale au moment de leur résultante.
Le moment de la force F (/îg. 20) est égal, numériquement,^ à deux fois Taire du triangle OAF, par conséquent au produit du nombre qui mesure OA par le nombre qui mesure la projection de la droite AF sur une droite Oo?, perpendiculaire à OA. D'ailleurM, si plusieurs forces sont appliquées au point A^ toutes celles dont les moments ont le même signe ont leurs projections dirigées dans un même sens, les autres ayant des projections de sens contraire. Choisissons donc, sur Oœ, un sens positif, celui des projections des forces dont le moment est positif ; désignons par proj F/ la projection, avec son signe, de la droite qui représente la force F/, appliquée au point A, en supposant appliquées en ce point les forces F^fFj, F3... F„. La somme de leurs moments sera égale à
OA X (proj F^ 4. proj F^ + + proj F3),
i^O DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL
el, si Ton désigne leur résultante par R, on voit immédiatement que ce produit est égal à
OA X proj R,
c'est-à-dire au moment de la résultante. Dans le cas particulier de deux forces, ce théorème est celui de Varignon.
8. Soient F une force appliquée en un point A, a/ la projection, sur un plan P, de la droite qui la représente. Imaginons une force Gctive appliquée au pointa, et représentée, en grandeur et en direction, par la droite af. Cette force fictive se nommera la projection de F sur le plan P ; et nous appellerons moment de la force F, par rapport à un axe, le moment de sa projfïction sur un plan perpendiculaire à cet axe, par rapport au pied de Taxe sur ce plan. Si $ est la plus courte distance de Taxe à la droite représentative de la force, V l'angle . de l'axe avec la direction de la force, la projection de la force sur le plan sera égale à F sin Y, et son moment à F. S sin V; de sorte que la condition nécessaire et suffisante pour qu'une force ait un moment nul par rapport à un axe, consiste en ce que Tun des facteurs 8 ou sin V soit nul ; dans les deux cas, Taxe et la force sont situés dans le même plan, et réciproquement.
Si plusieurs forces, non dirigées dans un même plan, sont appliquées en un même point A, et si on les projette sur un même plan P, perpendiculaire à un axe Oœ, leur résultante se projettera suivant la résultante de leurs projections. Le moment de celle-ci, par rapport au pied de Taxe Oo?, sera égal à la somme des moments de ses composantes, par conséquent à la somme des moments des forces données, par rapport à Taxe. Donc : Le moment^ par rapport à un axe.
de la résultante de plusieurs forces appliquées en un même points est égal à la somme des moments de ces forces par rapport à cet aœe.
Ce théorème nous permet de trouver aisément l'expression analytique du moment, par rapport à chacun des axes coordonnés, d'une force dont les projections sur ces axes sont X, Y, Z, et dont le point d*application a pour coordonnées œ, y, z. Décomposons, en effet, cette force en trois forces parallèles à ces axes, et faisons la somme de leurs moments par rapport à Ox, par exemple. Le moment de X est nul, et les moments de Y et de Z sont égaux aux moments, par rapport à l'origine des coordonnées, de deux forces, égales à Y et Z, situées dans le plan des yz, et appliquées en un point dont les coordonnées sont y^z. Pour un observateur placé sur le plan des yzj suivant la partie positive de Taxe des œ, la force Z a pour moment, en grandeur et en signe, yZ, l'autre a pour moment — zY, Donc le moment de la force, par rapport à Taxe des x, est égal à
yZ — zY.
De même, les moments par rapport à Oy, Oz sont égaux à
^X — xZf xY — y\.
9. On appelle quantité de mouvement, au temps^/, d'un point matériel de masse m, doué d'un mouvement dont la vitesse est v, la quantité mv, et l'on imagine qu'elle soit représentée par une droite, dirigée suivant la vitesse du point, et dont la longueur est mesurée par le nombre mv. On définira le moment de la quantité de mouvement par rap* port à un axe, comme le moment d'une force» et l'on recon-
naîtra sans difficulté que les théorèmes du paragraphe précédent sont applicables aux moments des quantités de mouvement, comme aux moments des forces. Il s'ensuit que les moments des quantités de mouvement par rapport aux trois axes s'expriment comme il suit :
dz dy dx dz dy dœ
y-jt-'^ti' 'Tt~"'ic ""dt-y-dt'
Soient donc X4, Y|, Zp Xj, Y^, Zj, etc., les projections, sur les trois axes, des forces auxquelles le point matériel est soumis. Ecrivons les équations du mouvement sous la forme :
Multiplions les deux membres de la deuxième par z^ de la troisième par — y, et ajoutons les équations obtenues membr» à membre. Nous trouvons :
ou
iHilzil)]
^^ =S(^Y,-yZ,), (®)
résultat qu'on peut énoncer comme il suit : La dérivée^ par rapport au temps^ du moment de la quantité de mouvement d'un point matériel soumis à diverses forces^ est égale à la
êomme des moments de ces forces, tous les moments étant pris par rapport à un même àxe,
10. Par exemple, dans le mouvement du pendule simple, le point matériel est soumis à deux forces. Tune verticale, l'autre passant par le point d'attache du fil. Si Ton prend pour axe des z la perpendiculaire menée de ce point au plan vertical dans lequel s'effectue le mouvement, avec les notations antérieurement adoptées, la force verticale a pour moment, par rapport à cet axe, m^l sin 9; et la quantité de mouvement
est égale k ml ~ Son moment est m P -j- De là féquation,
antérieurement établie :
Z^— ^sm0 = o.
11. Mais le théorème qui précède prend une forme parti« cullèrement remarquable dans le cas où toutes les forces rencontrent un axe fixe ou lui sont parallèles. Prenons cet axe pour axe des z\ les moments de toutes les forces par rapport à cet axe étant nuls, l'équation (9) se transformera comme il suit :
MHlIzi^-
dt ='''
et l'on en déduira :
dy dco ^
G désignant une constante. Puis, en adoptant les coordonnées polaires
a? = r cos 0, y = r sin 0,
on trouvera :
r^dO z= Cdi.
Alors : Le rayon vecteur de la projection du point mobile, sur un plan perpendiculaire à Vaxe^ décrit des aires égales dans des temps égauœ.
12. Si un point matériel est mécaniquement assujetti à se mouvoir sur une surface donnée, on admet, comme donnée expérimentale, que le fait de Tassujettir à se mouvoir sur cette surface, équivaut à le soumettre à une force constamment normale à la surface, mais dont Tintensité peut d*ailleurs varier avec les conditions du mouvement. Dans le cas particulier où cette force est la seule qui agisse sur le point matériel, ce sera la force accélératrice du mouvement du point ; elle sera sans cesse située dans le plan osculateur de la trajectoire. Celle-ci sera donc une courbe dont le plan osculateur est sans cesse normal à la surface, et Ton démontre qu'une telle ligne est déterminée quand on connaît deux de ses points. Ces lignes se nomment les lignes géodésiques de la surface. Nous nous bornerons au cas d'une surface de révolution. Prenant l'axe de révolution pour axe des ^, nous constaterons que la seule force à laquelle le point soit soumis rencontre cet axe, et que, par conséquent, les coordonnées polaires, r et 6, de la projection du mobile sur le plan desa?y, vérifient l'équation déjà établie
rdB = Cdt. (10)
D'ailleurs, le carré de la vitesse étant
(dxy fdyy /d£s
\dtj '^\dt) '^\dt,i
s*exprime comme il suit en fonction des coordonnées polaires et de z
et comme le travail de la force, constamment normale à la trajectoire, est constamment nul, la vitesse est égale à une constante ^0, en vertu du théorème des forces vives. 11 s'ensuit que
(f )• + (I)' + (fO' = <■
D'ailleurs, Téquation de la surface est de la forme
Donc celte dernière équalion peut être remplacée par celle-ci :
et Ton trouve, en vertu de Téquation (10)
r^c^e» J^[iJ^f [rf) dr^ = ^ rfô^
en posant :
Va
On en déduit :
et comme, en choisissant convenablement le sens positif de Taxe des a>y on peut supposer affecté de tel signe qu'on veut, on trouvera
G'esl l'équation générale des projections des lignes géodesiques de la surface sur le plan des ofy. On conçoit qu'oa puisse disposer de r^ et de d^ de telle sorte que la courbe ainsi définie passe par un point pris à volonté dans le plan, et que, l'intégration faite, on puisse disposer de a de telle sorte qu'elle passe pour un second point r^, 0^, également donné : de sorte qu*unc ligne géodésique est déterminée quand on connaît deux de ses points.
18. Par exemple, si la surface est un cône, on aura f (r) = Kr, et Téqualion ci-dessus deviendra :
r /**• adr
= — \/i 4- K* (arc sin arc sin — V
Soit:
, ^ + arc sm — = a, V^i + K^ ^ '•o
équation générale, en termes finis, des courbes cherchées
sera
sin (a — . 1
\ \/l + KV
et cette équation représentera des courbes algébriques, si la tangente K du demi-angle d'ouverture remplit la condition
Pj q désignant des nombres entiers.
NOTE
Sar les tantochrones
Soit une courbe ÀMB {/fg, 17) présentant un point B où la tangente est horizontale. Si un point matériel, abandonné à lui-même, posé en un point de cette courbe, et assujetti à la décrire, arrive toujours au point B dans le môme temps, quelle que soit sa position initiale, nous dirons que la courbe est lautochrone.
Prenons pour axe des Z une verticale dirigée positivement de haut en bas, et supposons les axes des coordonnées rectangulaires. Soient Z^ l*ordonnée z du point B, Z l'ordonnée du point de départ du mobile, z son ordonnée au temps t; en vertu de la formule :
résultant du théorème des forces vives, nous aurons, en appelant T le temps de la chute de M en B :
ds
