SUR LES TAUTOCHRO.NKS

S désignant Tare BM, compté à partir de B. Le problème consiste à trouver, entre «et Zyune relation telle que cette intégrale soit indépendante de S ; cette relation établie, nous aurons trouvé une înQnité de courbes tautochroncs gauches qui, toutes, se développeront suivant la m^me courbe plane sur un plan tangent au cylindre dont chacune d'elles est la directrice. et dont les génératrices sont verticales. Il suffit donc de traiter le problème dans le cas où la tautochrone est plane. Soit jt = f [s) la relation cherchée. A un facteur constant près, rintégrale proposée est :

ds

Vr {S} - r (S)

Transformons celte intégrale en posant s = uS ; elle devient :

%du

,V/-(uS)-/-(S)

et nous avons à déterminer/ [s) de telle sorte que sa dérivée par rapport à S soit nulle. Or cette dérivée est égale à :

2 \r jus) - rm - s \ur- («s) - r (s)i ^^^ 2 ir («S) - r (S)] ^

OU, en revenant & la variable s :

A [/•(«•) - r (S)] - sr (s) + sf (S) ^^^

OU encore :

A/- M - 3f (s) - [y (S) - s/-' (syi ^

MéCANIQUB.

130 NOTE

Mais cette intégrale ne peut être nulle que si la fonction sous le signe d'intégration est nulle quel que soit S ; sans cela, on pourrait choisir S pour que le numérateur et le dénominaleur conservent Tun et l'autre le même signe quand « varie de zéro à S. Donc on doit avoir :

2/^W-*rW=2/-(S)-S/'(S),

et cela ne peut avoir lieu que si les deux membres de l'égalité sont constants. Soit a la valeur commune à ces deux, membres, on doit avoir :

ou bien :

ou encore

2z — 5 —- = a, as