CHAPITRE PREMIER

Jfoiivement reotiligne : vitesse» aooélératlon : exemples. Mouvement ourviligne. Vitesse, sa décomposition en trois vitesses parallèles aux axes de coordonnées. Vitesse du mouvement résultant de plusieurs mouvements simultanés. Accélération, composition des accélérations : décomposition en accélérations normale et tangentielle. Exemples : mouvement circulaire, mouvement vibratoire elliptique. Accélérations centreJes, loi des aires.

1. Dans tout ce qui précède, nous avons étudié le mouvement d'un point sur une courbe, sans tenir compte du temps qui 8*écoule entre le passage du point mobile d*une position à une autre. La partie de la mécanique appelée cinématique du point a pour but d'étudier les relations qui existent entre le temps mis par un mobile pour arriver à une quelconque de ses positions successives, et les quantités d'ordre géométrique qui déterminent cette position. La courbe décrite par un point qui se déplace d*un mouvement continu se nomme sa trajectoire. Le mouvement le plus simple est celui où la trajectoire est une ligne droite : un tel mouvement est dit rectiligne. Soient [fig, 3 hU) un point fixe sur la trajectoire, M la

position que le mobile occupe alors que le temps, compté à partir d*un moment choisi à volonté, est mesuré par le nombre if X la distance OM. Dire que le mouvement s'effectue diaprés une loi déterminée, c'est dire qu'entre œ ei t il y & une relation connue. Cette relation se nomme la loi des espaces, i^e mouvement est dit uniforme, si cette relation est de la forme X = al -^^ b^ c'est-à-dire si l'espace parcouru varie proportionnellement au temps. Soit OA = b^ en grandeur et en signe.

Fieç. 3 bis.

Nous supposons esscnliellement qu'on a choisi sur Ox un sens positif, dans lequel on est convenu de compter, à partir du point 0, les valeurs positives de x fournies par la loi des espaces, et qu'on compte les valeurs négatives en sens inverse. A sera la position occupée par le mobile au temps zéro; cette position se nomme l'origine des temps, est Torigine des espaces, et, dans la pratique, l'origine des espaces se confond souvent avec l'origine des temps. La quantité a, positive ou négative, se nomme la vitesse du mouvement uniforme. Elle est, en grandeur et en signe, égale à l'espace parrouru pendant l'unité de temps. Mais on peut dire aussi que la vitesse a pour mesure, en grandeur et en signe, le quotient du nombre qui mesure l'espace parcouru pendant un certain temps, par le nombre qui mesure ce temps. En effet, M, M' étant les positions occupées par le mobile aux instants t^ t\ on a :

OM =al + b, OM' = fl/' -f. ô

et par suite :

MM' = a{l' — t)

MM'

2. Tout mouvement rectiligne qui n'est pas uniforme se nomme un mouvement varié. Soient, dans un mouvement varié, M, M' les positions que le mobile occupe à deux instants, t, t\ aussi voisins qu'on voudra l'un de l'autre. Si la distance MM' eût été parcourue d'un mouvement uniforme pendant le même temps, la vitesse de ce mouvement uniforme eût été égale à

MM'

Ce quotient se nomme la vitesse moyenne pendant le temps V — t. Mais, si cet intervalle est de plus en plus petit, les deuiç termes du quotient ci-dessus sont deux infiniment petits généralement du même ordre. En effet, soit

MM'

la loi des espaces ; soient OM =a?, OM' = a?' ; le quotient 'p~~J

égal à:

x' — X tf — t

a pour limite la dérivée de la fonction x par rapport à /, lorsque /'— t tend vers zéro. Cette limite se noncime la vitesse du mobile au temps t. On la désigne habituellement par la lettre w, et Ton a

^ = /" % ou : t? = ^-

Cette relation est ce qu'on nomme la loi des vîlesses.

De tous les mouvements variés, le plus simple est celui où la vitesse varie proportionnellement au temps. Alors la loi des vitesses est de la forme

V = at-^ b

et Ton en [déduit immédiatement la loi des espaces. En effet, cette relation équivaut à :

^ = a/ + ^ d'où Ton déduit :

c désignant une constante. Cette constante est, en grandeur et en signe, la distance de Torigine des espaces, à la position occupée par le mobile au temps zéro. Le mouvement que nous étudions maintenant est dit uniformément varié. La constante b est la vitesse au temps zéro. On rappelle la vitesse initiale, et on la désigne habituellement par la lettre v^. La constante a, variation de la vitesse pendant Tunilé de temps, se nomme Taccélération. On la désigne habituellement par la lettre y, et la loi des espaces se présente sous la forme

la loi des vitesses étant :

On peut dire aussi, comme précédemment, que Taccéléra*

MOUVEMENT REGTILI6NE 3^

lion du mouvement uniformément varié est mesurée, en grandeur et en signe, par le quotient des nombres qui mesurent, l'un, la variation de la vitesse pendant un certain intervalle, Tautre, la durée de cet intervalle.

8. Considérons maintenant un mouvement varié quelconque. Soient, dans ce mouvement, r la vitesse au temps t^ v' la vitesse au temps t. Si, dans Tintervalle t' — ^, le mobile se fût déplacé d'un mouvement uniformément varié, tel que la vitesse eût varié de la même quantité, l'accélération de ce

t?' — V mouvement uniformément varié eût été -7— — - • Ce quotient

se nomme l'accélération moyenne pendant l'intervalle t' — t] et si cet intervalle tend vers zéro, ce quotient tend vers une limite, qui est la dérivée de la fonction v par rapport à t^. Soit donc y l'accélération du mouvement varié, au temps t : si la loi des espaces est

la loi des vitesses sera :

et la loi des accélérations :

ou encore :

Si l'on connaît une de ces trois relations, on pourra en déduire les deux autres, à certaines constantes près, comme

on va le voir. En effet : !• si c'est la loi des espaces qui est connue, la loi des vitesses et la loi des accélérations s'obtiennent par deux dérivations successives, et il n'y a pas de difficulté ; 2^ Si Ton donne la loi des vitesses sous la forme

on en déduira immédiatement la loi des accélérations :

et la loi des espaces s'obtiendra par une intégration. En effet, puisque t? = — = ^ (<), il s'ensuit que :

X =f^ (/) dû + C,

la constante C désignant la distance de l'origine des espaces à l'origine des temps. 3" Si l'on donne la loi des accélérations :

Y = ^ (<), on en déduira la loi des vitesses par la formule :

v=fi{t)dl-i-v^,

Vq désignant la vitesse initiale ; et la loi des espaces par rintégration suivante :

=j['^^(j]tW«^^) + V + ^o

Xo désignant la distance de l'origine des espaces à l'origine des temps.

MOUVEMENT REGTILIGNE 41

On peut remplacer les deux quadratures successives auxquelles conduit remploi de cette formule par le calcul d'une intégrale unique : en effet, en intégrant par parties on trouve :

et Ton en déduit pour la loi des espaces :

œ= I {t — x) ^ {z) dz -^ VqI -|- Xq,

4. Il nous sera utile, dans la suite, de considérer l'accélération du mouvement rectiligne d'un mobile, comme la vitesse d'un autre mobile dont le mouvement a une loi déterminée, quand la loi du mouvement du mobile principal est déterminée. Si celle-ci est œ = f[t)^ nous imaginerons un mobile auxiliaire se déplaçant en ligne droite de telle sorte qu'au temps t sa distance Ç à un point fixe de cette droite soit

dûD

donnée par la formule Ç — /* [t\ ou Ç = ^' L'accélération du

mobile principal sera alors égale à la vitesse du mobile auxiliaire.

5. Avant de passer au mouvement curviligne, donnons un exemple de mouvement rectiligne varié. Imaginons que le rayon OP {fig. 4), de longueur a, d'un cercle donné, tourne, autour du centre, d'angles égaux dans des temps égaux, par 'exemple dans le sens adopté en trigonométrie comme sens positif; et étudions le mouvement de la projection M de l'extrémité de ce rayon sur un diamètre fixe A'A. Soit a> l'angle

dont le rayon vecteur OP tourne dans l'unité de temps. Si Ton choisit le point pour origine des espaces, et le sens OA pour sens positif, on trouve immédiatement, pour la loi des

espaces :

œ = a cos fût, pour la loi des vitesses :

r = — «(0 sin iût

Flg. 4.

et pour la loi des accélérations

— aiù^ cos «/.

On trouvera résumée, dans le tableau suivant, la discussion qui fait connaître la variation des fonctions x, t?, y en fonc« tion de t.

t: TZ 3tz 2(1) (1) 2(1)

5ir

ao} — -f-"f~^^"h

— itKû . . .

— atû^ — + + «(!)* + —

— aay^

et Ton complétera cette discussion en obsen^ant que la fonction œ est maximum pour < = o, — > — > •••> minimum pour

t =-> — ••• La fonction t?estmaximumpoura?=r-j--.>r^ — ••»

(Où) * Z(0 2(0 2(0

MOUVEMENT REGTILIGNE tô

minimum pour / = rr- » s~ ' "^ • Enfin la fonction y est

maximum quand œ est minimum, et inversement.

6. Ceci nous conduit à étudier encore un mouvement rectiligne dans lequel la loi des vitesses serait représentée par Téquation

î? = A sin ititf (i)

où Ton peut toujours supposer la constante co positive, et la constante A négative, à condition de choisir convenablement le sens positif de la trajectoire. On trouvera, immédiatement

y =. A(D COSCO^,

et aussi :

X = cos iùl -4- a,

puis, en prenant pour origine des espaces le point dont la distance à l'origine actuelle est a :

O) =. cos fût.

Un tel mouvement ne diffère pas de celui que nous venons d'étudier.

Il n'en serait pas toujours de même, si Ton donnait la loi des accélérations sous la forme

Y = A cos (ùtf

en faisant les mômes hypothèses que précédemment sur les constantes A et (o.

En effet, on trouverait pour la loi des vitesses :

V = — sin (ût 4- a.

Ici a désigne la vitesse initiale, et Ton conçoit qu'on puisse ramener cette équation à la forme (1) en comptant le temps à partir du moment où la vitesse est nulle. Encore faut-il que ce fait se produise à un certain moment, et cela exige que

— «oit compris entre — 1 et -|- 1- Si cette condition est rem-

plie, le mouvement est identique à celui qui nous occupait tout à rheure.

7. Une autre remarque suggérée par l*étude de ce mouvement est celle-ci. En éliminant t entre les équations

X ■= a cos tût Y = — a<j>^ cos wf,

on trouve

Ceci prouve que Taccélération est toujours dirigée vers le point 0, et proportionnelle à la distance OM. Réciproquement, s'il y a, entre l'espace et l'accélération, une relation de la forme (2), la vitesse s'exprime par une équation de la forme (1). En effet, l'équation (2) équivaut à :

(Px •

et si Ton pose :

MOUVEMENT REGTILIGNË 45

on trouve

dv dv dx dv „

dt ax dt dx

^dv = — i^^xàx.

ou encore

r^ = — <i>'j7- -f" ^1 A désignant une constante. On en déduit

c^/=. JL

et en posant

zh yA — iû'^x^-

0)0? = Va.**

tsidl =

±: Vl — M-

u> (^ — =^ — ^^^ cosM = ± arc cos -t= a?

ar = ±: — cos 0/ (/ — Oi

^0 dér^ignant une constante arbitraire.

Puis, en comptant le temps à partir deTinàtant t^,

X =: ± cos iat,

La marche à suivre serait la même, mais le résultat serait différent, 8*il y avait, entre x et y* une relation de la forme :

8. Passons maÎDtenant au mouvement curviligne. Supposons qu'un point, doué d*an tel mouvement, occupe, au temps . t, la position M {/îg. 5); au temps i + M, la position M'. Joignons le point M au point M', et observons que si, à partir du temps tf le mobile eût décrit le chemin rectiligne MM\ d*un mouvement uniforme, dans le temps Af, la vitesse de ce mou-

MM'

vement eût été — -• Nous dirons que la vitesse du mobile au

temps t est la limite vers laquelle tend ce rapport quand A^ tend vers zéro ; et, comme la corde MM' est un infiniment petit équivalent à Tare qu'elle sous-tend (Introduction, § 2), si nous déï'^fç- ». signons par s l'arc de trajec-

toire compté à partir d'un point

ds fixe et aboutissant en M, cette limite sera égale à-r:*

Nous conviendrons aussi que la vitesse au temps t est dirigée suivant la tangente en M à la trajectoire, dans le sens du mouvement du mobile, et nous la représenterons par une droite MY, comptée sur la tangente, dans le sens du mouvement, et de longueur égale à ~ Gela posé, projetons le point

M sur trois axes rectangulaires, Oo;, Oy, 0^, et désignons par â?, y, X ses coordonnées par rapport à ces trois axes. Ces trois variables sont des fonctions de t^ et Ton peut les représenter par trois équations analogues aux équations (1) [Introduction], Quand le point P se déplacera sur la courbe, ses projections

se déplaceront sur les axes, avec des vitesses égales à -rr» -r >

MOUVEMENT GURYH.îGNE 47

-t:» Je dis que ces vitesses sont les projections, sur Oo?, Oy,

0^, de la vitesse du point M. En effet, la droite représentative de cette vitesse fait avec les axes de coordonnées des

angles dont les cosinus sont -^j ^> -^* Les projections de

(^x ds dy ds dx ds cette droite sont donc égales à -r'T» -t't.* t '"T.' c est-

° ds dt ds di ds dl

, ,. ^ dx dy dz

à-dire à 37» -it» ":jr' dl di dt

D*autre part, on peut concevoir le mouvement curviligne de la manière suivante : Soient x = f[[t), y = f^[t\ z =f^(t) les équations qui font connaître les mouvements, sur Ox, Oy, 0^, des projections du point M sur ces trois axes. Imaginons un mobile se déplaçant sur Ox suivant la loi x=zf^[t)f tandis que Taxe Oo; se déplace parallèlement à lui-môme, en décrivant le plan des xy, de telle sorte qu'un de ses points, par exemple son intersection avec O3/, se déplace sur cette droite d'après la loi y = /^(O- ^^ mobile décrira la projection de la trajectoire du point donné sur le plan des xy. Si, pendant ce temps, le plan des xy se déplace parallèlement à luimême, de telle sorte qu*un de ses points, par exemple celui qui est sur Taxe Oz, se déplace sur Oz d'après la loi z=f^{t)^ le mobile auxiliaire décrira précisément la trajectoire du mobile réel, pourvu qu'au début du mouvement, parexemple, il coïncide avec lui. (Nous supposons, bien entendu, que le plan des xy, pendant son mouvement de translation, ne tourne pas sur lui-même.) On exprime ce fait en disant que le mouvement du mobile réel est le mouvement résultant de trois mouvements de translation simultanés, s'effectuant parallèlement à Oo;, Oy, 0^, c'est-à-dire de trois mouvements

tels que, si toat un système de points, invariablemenl liés les uns aux autres, participe à un tel mouvement, tous ces points aient, au mémo instant, des vitesses égaies et parallèles; et, de ce qui précède, il résulte que la vitesse du mobile est, à \ chaque instant, égale, en grandeur, direction et sens, à la

diagonale du parallélipède construit sur les vitesses des trois mouvements composants, ou encore à la résultante de la ligne brisée dont les trois côtés sont égaux et parallèles à ces vitesses, en entendant ici le mot résultante dans le même sens que dans la théorie des projections, si fréquemment employée en géométrie analytique.

9. On peut généraliser ces notions comme il suit : Supposons qu*un mobile fasse partie d*un système, animé d'un mouvement quelconque, mais que, par rapport à ce système, il soit doué d*un mouvement propre, c*est à-dire qu*aux yeux d\m observateur entraîné dans le mouvement du système le point paraisse se déplacer d'après une loi donnée. Rapportons tous les points du système mobile à trois axes rectangulaires O'o?, O'y, 0'^, entraînés dans son mouvement, et soient *4 •Pi,T< les cosinus des angles que fait OV; a^, Pj, y^ les cosinus des angles que fait 0^; ^3, {^3, y, les cosinus des angles que fait OV avec les trois axes fixes. Ces neuf cosinus sont des fonctions de ^ Soient aussi Xq, y^, z^ les coordonnées du point 0', au temps t\ x\ y' s', les coordonnées par rapport au système mobile, du point dont on veut étudier le mouvement; on^ y y ^, ses coordonnées par rapport aux axes fixes. Des formules connues :

^* = ^0 + »<^' + *2y' + H^' y = y^ + Pi^' + M' + p3^'

^ = ^0 + Yi^' + W + Ta-^'

MOUVEMENT CCRVILIGNE 49

on déduit :

dt " clt '^^ di^'^ dt^^ dt"^"^^ dl

dy' dz'

et deux formules analogues, faisant connaître -^> ^- Par

le point M, position que le mobile occupe au temps t;, traçons une droite projetée sur Oa?, Oy, Oz^ suivant les trois longueurs

dXf. . ,dx.. , d%^ , , dx^

'df + '^lu'^^lf + 'lu'

dt ^ dt^^ dû ^ dt dt^ dt^^ dt ^ dt

G*est la droite représentative de la vitesse du point du système qui, au temps ^, coïncide avec le mobile. Car ses projections sont les valeurs que prennent les dérivées de a?, y, z^ quand on suppose œ\y\z\ invariables. Traçons une deuxième droite, ayant pour projections

dx' . dt/ , dz'

*• "rfT + *» "^ + *» d?

dx' (J£ ,^ dz'

dx' , dy' dz'

^' dT + ^» rf< "*" '^» dt

diX du di

Ses projections sur (Sx\ O'y', OV sont -j-> -^j — ; c'est

UéCAMQDB. 4

50 CINÉMATIQUE BT DY.'^AMIQUE DU POUIT

donc la vîlesse da mouTement propre da mobile. Mais en Tertu de Téquation (3) et des deux équations analogues, ces deux droites sont les côtés d'une ligne brisée dont la résultante est la vitesse du mouYement effectif du mobile. Donc, la vitesse du mauvemenl effectif du fnobile est la diagonale du parallélogramme construit sur la vitesse de son mouoe^ ment propre et la vitesse du point du système qui, à rinstant considéré, coïncide avec lui.

Supposons maintenant que le point ait un mouvement propre par rapport à un système A, ayant lui-même un mouvement propre par rapport à un système mobile B. Les mouvements des deux systèmes et le mouvement propre du point s'appelleront les mouvements composants, le mouvement dont le mobile est doué aux yeux d*un observateur supposé immobile s'appellera le mouvement résultant, et, pour obtenir la vitesse de ce mouvement, on cherchera d'abord la vitesse du mouvement propre du point par rapport au système B. On trouvera la résultante d'une ligne brisée ayant pour côtés la vitesse du mouvement propre par rapport au système A et la vitesse du point de ce système qui, à Tinstant donné, coïncide avec le mobile. Puis on construira la vitesse du mouvement résultant parla même règle que précédemment. En supposant que le système B soit, à son tour, mobile, par rapport à un système C, on appliquera encore la même règle, et ainsi de suite. On sera conduit, de la sorte, à cette conséquence : La vitesse du mouvement résultant est la résultante de la ligne briiée dont les côtés sont, en grandeur et en direction, les vitesses des fnouvements composants.

La recherche de la vitesse du mouvement résultant de plusieurs mouvements, imprimés simultanément à un même

MOUVEMENT CURVILIGNE 5t

mobile, constitue le problème de la compoàilion des vitesses. On sait, par ce qui vient d*étre dit, construire cette vitesse à chaque instant, et Ton voit qu*à chaque instant aussi la vitesse du mouvement dont le point est animé peut être considérée comme la résultante d*une ligne brisée ayant pour côtés les vitesses de plusieurs mouvements fictifs dont on peut le supposer animé simultanément. La recherche de ces vitesses constitue le problème de la décomposition des vitesses, problème évidemment indéterminé, car les seules relations qui doivent exister entre les vitesses des mouvements^ fictifs composants consistent en ce que la somme de leursprojections sur chacun des trois axes de coordonnées est égale à la projection de la vitesse résultante sur cet axe.

10« Définissons maintenant la déviation du mouvement curviligne. Supposons qu*au temps t le mobile occupe sur sa trajectoire la position M, et, au temps t -{- ^^» 1& position M\ Menons, par un point quelconque, des parallèles aux tangentes à la trajectoire en M et M' : elles font entre elles un* angle oi, infiniment petit avec A/. Cet' infiniment petit est équivalent à Tare infiniment petit da de la courbe sphérique qui nous a servi à définir la courbure. Car les extrémités desrayons de la sphère, parallèles aux tangentes en M et M', comprennent entre elles un arc de grand cercle égal à a, équivalent d'ailleurs, à sa corde, laquelle équivaut à d<j. L'angle a

est la déviation totale pendant le temps Af, le rapport -r- est

la déviation moyenne pendant ce temps, et la déviation au* temps t est la limite vers laquelle tend ce rapport, quand

A/ tend vers zéro. Cette limite est égale à -r ; c'est la vitesse^

52 CINÉMATIQUE ET DY!<(AMIQUB DD POINT

du poînl {A dont nous avons parlé dans la déOnîtion de la courbure, et Ton peut aisément rexprimer en fonction du rayon de courbure en M et de la vitesse au temps t^ Car

dv __ d^ ds 1

dû'^di ' 7t'^ ï\^'

V désignant] la vitesse, R le rayon de courbure. On peut convenir de représenter la déviation par une ligne. Soient MY (Jîg. 6) la droite représentative de la vitesse au point H ; MV la droite menée par M, parallèlement à la vitesse au temps ^ -}~ ^^> M^ une demi-droite, perpendiculaire au plan MYV et dirigée de telle sorte qu'un observateur, se plaçant debout, en M, sur le plan MW, et dans le sens M^r, voie le point V tourner de gauche à droite, quand MV tourne de Tangle a pour venir coïncider avec MV. Quand M tendra

vers zéro, Mz tendra ^ vers une position li-

mite , perpendiculaire au plan osculateur, et la droite, comptée sur cette position limite, égale en longueur à la déviation en M, sera la droite représentative de la déviation. Cette convention est conforme à la théorie des rotations, dont nous n'avons pas à parler dans cet ouvrage.

!!• D'un point quelconque de l'espace, par exemple de l'origine des coordonnées, menons des droites parallèles aux tangentes à la trajectoire du point M, et comptons sur cha-

Flg. 6.

cune d'elles une longueur OU, égale, en grandeur, direction et sens, à la vitesse du mobile au point correspondant. Le mouvement du point M élantdéfini, le mouvement du point U 8era défîni également, et il en sera de même de sa vitesse. Du point M menons une droite égale et parallèle à cette vitesse, et dirigeons-la dans le même sens : la droite ainsi obtenue sera la droite représentative de Taccélération au point M ; et nous aurons ainsi défini la grandeur, la direction et le sens de cette accélération.

La vitesse du point M se projetant sur les axes, suivant

W/jr» fil/ fis

trois longueurs égales à -;-• -^' -3-» l'accélération aura des

at dt al

projections ayant pour mesures les dérivées, par rapport à ^,

de ces trois dernières fonctions, savoir: -7-7» -r?» ta'* et Ton

dl^ dtr di^

pourra dire que l'accélération d'un mouvement curviligne est

représentée par la diagonale du parallélipipède construit sur

les accélérations des mouvements composants suivant les

trois axes. Mais il ne faut pas croire qu'on puisse formuler

une règle analogue à celle du parallélogramme des vitesses,

quand on considère le point comme ayant un mouvement propre

par rapport à un système animé d'un mouvement quelconque.

Nous en donnerons tout à l'heure un exemple.

12. Pour le moment, cherchons à déterminer, en grandeur et en direction, l'accélération d'un point, mobile sur un cercle de rayon a, sachant que le rayon aboutissant au point mobile fait, au temps ^ avec sa position initiale, un angle fonction donnée de t. Soient x^ y ses coordonnées par rapport à deux axes rectangulaires issus du centre, Qoa étant

4Jirigée suivant la position iniliale du rayon. On aura :

X = a cos 9, y = a sin 8

-r- = — û sm — • -jjï = — a sin 6 -t:^ — a cos ( -;- ) dt di dt^ di^ \dt}

dy , ^6 d*y , , cP6 . ^ A/0\«

-? = acos6^^, ^ = + «co8e^-a8mO(^)

Le quotient différentiel -rr se nomme la vitesse angulaire

au temps t. Soit M la position du mobile à ce moment: sur le rayon MO, comptons, à partir du point M, et dans le sens

MO, une longueur égale à ^ i'j,) et projetons-la sur les

.axes: ses projections sont respectivement égales k

-Comptons sur la tangente en M, dans le sens du mouvement,

une longueur égale à a -j-^^ et projetons-la sur les axes. Ses projections sont

— asind-T-^ï ^icos6-7-7*

dl^ dt^

Donc Taccélération est la diagonale du rectangle construit •sur ces deux longueurs. Si la vitesse angulaire est constante, et égale à o), le mouvement circulaire est dit uniforme ; celle •des deux longueurs que nous venons de compter sur la tangente est nulle. L*accélératipn est alors dirigée vers le centre, <et égale à aco^. Si maintenant ce point fait partie d*un système

doué d'un mouvement de rotation uniforme autour de la perpendiculaire menée du point sur le plan de la figure, et si Ton désigne par r la distance de ce point à l'axe de rotation, chaque point du système aura une accélération égale à cdV, dirigée suivant le rayon du parallèle qu'il décrit. Supposons que, par rapport à ce système, un mobile M soit doué d'un mouvement propre, s' effectuant uniformément sur un cercle de rayon 1, décrit de Torigine comme centre et dont le plan passe sans cesse par Taxe de rotation Oz. Si les vitesses angulaires des deux mouvements composants sont égales à i, les coordonnées du point mobile, au temps t, s'expriment comme il suit :

X =z sint cos t, y = sin* ^ z = cos ^,

en supposant qu'au temps o le mobile soit sur Taxe des z. Alors

^= — 2sin<co8^ . ^ = 2 (co8« / — sin* et le rapport

dl^

n'est pas constamment égal à ¥■} sans quoi Ton aurait constamment :

cos* t — sin' t = — sin' ^, ou

cos'^ = o.

56 C^ÉIUTIQUE ET DYNAMIQUE DU PODiT

Ce qui est impossible. Donc Taccéléralion du mouvement résultant n*est pas dirigée dans le plan du méridien passant par ce point. Donc elle n est pas dirigée suivant la diagonale du parallélogramme construit sur les accélérations des deux mouvements composants, car celles-ci sont dirigées Tune et Tautre dans le plan méridien.

13* On peut toutefois concevoir qu^un système invariable se déplace de telle sorte que toute droite de ce système conserve toujours la même direction. Alors le mouvement est dit de translation. Revenant aux notations du § 8, nous mènerons par le point 0' trois droites parallèles à Ox, Oy, 0^ considérées comme faisant partie du système : elles conserveront toujours les mêmes directions , et les coordonnées du point mobile par rapport à Ox, Oy, 0^ s'exprimeront comme il suit :

^ = ^0 + •^'' y = yo + y' ^ = 2^ + 2.

On en déduira :

(Px (Pxq , (Paf

dt^ "" dl- + It^

à^y ^Vfi , d'y

dl^ "" di* ' dl'^

CL *» CL A» A I u^ 2

Ici Taccélération du mouvement résultant est bien, en grandeur, direction et sens, la diagonale du parallélogramme construit sur les accélérations des deux mouvements composants.

14* Étant donnée la position du mobile au temps t^ cons-

truisons un parallélogramme dont la diagonale soit précisément Taccélération du mobile à ce moment. Dans un système doué d*un mouvement de translation, tous les points du système ont, au temps t, une même vitesse, partant une même accélération, variable avec t. L'un des côtés du parallélogramme pourra être regardé comme l'accélération, connue en fonction de ty d*un mouvement de translation entraînant le mobile avec lui, Tautre côté étant Taccélération de son mouvement propre. Soit A le système doué d'un mouvement de translation. Considérons- le comme étant en mouvement par rapport à un système B, doué lui-même d*un mouvement de translation. Nous pourrons supposer que le mouvement propre du système A, par rapport au système B, est un mouvement de translation, dont Taccélération est à chaque instant un des côtés du parallélogramme dont Tautre côté est Taccélération du système B, et dont la diagonale est l'accélération du mouvement propre du système A, et ainsi de suite. Donc : Le mouvement cFun point peut toujours être considéré comme résultant d'autant de mouvements de translation que ton veut, et d^un mouvement propre, pourvu que la résultante de la ligne brisée construite sur les accélérations de ces mouvemenis coïncide avec l'accélération du mouvement effectif du point.

15. Le problème qui consiste à construire les accélérations de ces mouvements composants n'est déterminé que si l'on se donne leurs directions : encore faut-il, si les accélérations composantes sont simplement au nombre de deux, que leur plan contienne l'accélération résultante. Nous observerons d'abord que celle-ci est toujours située dans le plan osculateur

de la trajectoire. En effet les deux droites OU, OU' (§ 11;, parallèles aux vitesses du mobile en M, M' sont, ainsi que la droite UU\ dans un plan parallèle à deux tangentes infiniment voisines, et Ton sait que ce plan a pour direction limite la direction du plan osculateur. Donc la direction limite de UU', direction de l'accélération en M, est dans un plan parai* lèle au plan osculateur. On peut également vérifier ce résultat, en observant que Téquation du plan osculateur [IntroduC' tion, § 3) devient une identité quand on y remplace les éléments de la première ligne borizontale par les quantités

-ry 77^' 7/7Î' proportionnelles aux paramètres directeurs de

Taccélération.

Il y a donc lieu de chercher à décomposer Taccélération en deux accélérations composantes, dont Tune soit dirigée suivant la tangente, Tautre suivant la normale principale. A cet

effet, considérons les deux droites OU, OU' {fig. 7) égales et parallèles aux vitesses en M, M', et traçons un arc de cercle du point comme centre, avec OU pour rayon, jusqu'à sa rencontre A avec OU'. L'accélération sera la diagonale du parallélogramme ayant pour côtés deux droites parallèles aux directions limites de AU' et de UA (tangente et normale principale à la trajectoire] et dont les longueurs auront pour mesures les limites vers lesquelles tendent les quotients :