AU' UA
Fij. 7.
quand A^ tend vers zéro. Or AU' est l'accroissement At?
que reçoit la vitesse v au point M, quand t reçoit Taccroissèment A^ Donc :
^. AU' dv (Ps
Si,d*autre part, on nomme a la déviation totale pendant le temps A^, on trouve :
UA = 2î? sin -•
Mais rinGniment petit 2 sin - est équivalent à rinOniment petit a, ou à rinfmiment petit dfs, précédemment défini. Donc:
^""- A^ ■" ^' rf< "■ dt* dt ""' \dt) * rf5 "" R
R désignant le rayon de courbure. Donc les accélérations
dH v' cherchées sont respectivement égales à — et à ^ : la première se nomme la composante tangentielle de l'accélération, ou accélération tangentielle, la deuxième composante normaie, ou l'accélération centripète. Cette désignation a pour but de rappeler qu'elle est dirigée vers le centre de courbure, comme l'indique la figure ci-dessus. Car une droite menée du point M, parallèlement à UA, et dans le sens UA, a bien pour position limite une droite dirigée dans le sens qui va du point considéré sur la trajectoire, vers le centre de courbure de la trajectoire en ce point.
16. Appliquons ce qui précède à quelques exemples. Soit à trouver le mouvement résultant des deux mouvements rectilignes, s'effectuant suivant deux trajectoires rectangu-
gulaires Oœ, Oy, et tels que la loi des espaces soit, pour Tun d'eux :
X = a cos (1)^
pour l'autre :
y = bsin (o/.
On voit immédiatement que la trajectoire est une ellipse ; car Télimination de t entre les deux équations précédentes conduit à Téquation :
.,2 «Aï — *•
Les composantes de la vitesse suivant Oa?, Oy, sont :
= — acu sin co<,
dii
dt
= biù cos iùt
et la vitesse est donnée par la formule :
ds dt
-T- = ± (û v'a* sin ^tùt + h^ cos ^oo^,
le signe du radical dépendant du sens du mouvement. La composante tangentielle de Taccélération est :
(a* — b^] sin mt cos iùl Va^ sin ^tùt + ^* cos ^<D<
Nous calculerons tout à Theure la composante normale. Les composantes de l'accélération suivant les axes Oa?, Oy sont:
d^x di^
dt'
= — ao)^ cos 00^ = — iùXy -~ = — ôo)' sin cu< = — wy
Il s'ensuit que PaccélératioD totale est sans cesse dirigée vers Torigine.
Elle est d'ailleurs égale à :
et proportionnelle à la distance du mobile à Torigine.
Pour calculer la composante normale de raccélération, nous, observerons qu'elle est égale à la somme des projections, sur la normale, des composantes dirigées suivant les axes. Or, si Ton prend pour sens positif de la normale le sens même du rayon de courbure, on voit que ce sens positif fait avec les sens positifs des axes coordonnés Oo?, Oy des angles ayant pour cosinus,
f ^ et - — ^^ ds ds
ou :
dy dx
dt . dt,
et —
\dt) \dc)
La projection cherchée est donc :
zt. \la^ sin ^co/ -f- b^ cos ^tùt
et comme il n'y a à tenir compte ici que de sa valeur numérique, on trouvera finalement :
yja^ sin ^iùt -{- b^ cos ^iùt
Cette quantité étant égale à ^> nous trouvons pour Tex-
pression du rayon de courbure de Tellipse :
ab
résultai qu*il est facile de conQrmer par un calcul direct.
17, Dans l'exemple que nous venons de traiter, il s'agit d*un potiil mobile doot Taccélération passe par un point fixe. On pourra développer davantage Tétude de son mouvement en appliquant les propriétés générales qui suivent.
Théorème. — Si faccêléralion cTun point mobile passe sans cesse par un point fixe^ sa trajectoire est plane^ et le rayon vecteur issu de ce point fioae 4écrit des aires égales dans des temps égaux.
En eO'et, prenons le point fixe pour origine des coordonnées. De rhypothèse énoncée résultent immédiatement les équations :
d^ ^ £z dt^ dt^ di^ X '~ g '~ z'
où Ton désigne para?, g, z les coordonnées du point mobile. On en déduit
d^z d^y d}x dPz cPi/ d!^x
En intégrant les deux membres, et désignant par A, B, G des constantes, on trouve encore :
MOUVEMENT CORYIUGNE 63
pois :
Ax -{- By -]- Cz = 0.
Ceci montre bien que le point mobile se meut dans un plan fixe. Prenons ce plan pour plan des xy, et dans la dernière des équations (4), mettons à la place de a? et de y leurs expressions X = r cos 9, y = r sin G en fonction des coordonnées polaires du point x, y, nous trouvons
H dû = Cdt.
Soient M, M' deux positions infiniment voisines du point mobile [fig. 8). r^d^ est, à un infiniment petit du second ordre près, le double de l'aire du secteur OMM' compris entre les deux rayons vecteurs OM, OM' et l'arc de courbe MM' ; car Taire du secteur circulaire OM A, dont Tangle
au centre est A9,est égale à
- HAO. Soit donc u la surface de OUM, parcourue pendant un
temps fini par le rayon vecteur ; l'équation qui précède équivaut à
du = Cdt,
ce qui démontre l'énoncé.
Le théorème ci-dessus exprime la loi des aires. Sa réciproque s'énonce ainsi : Si la trajectoire d'un mobile est plane, et si le rayon vecteur issu d un point fixe décrit des aires égales dans des temps égaux, V accélération est sans cesse dirigée
vers le point fixe. Car Téquation (4) est sans cesse vérifie'e par les coordonnées du point mobile, et l'on en dé luit :
ou
cPx
EL
TnÉORÈME. — Si un mobile se déplace conformé- 7nent à la loi des aires ^ sa vitesse varie en raison inverse de la perpendi' culaire menée du point de concours des accéléra^ lions sur la tangente à la trajectoire,
^l«. 9. En effet, soient M, M',
[fig. 9) les positions que
le mobile occupe aux instants t^t-{- M, En vertu de la loi des
aires,
c ayant la même signification que dans le théorème précédent. On en conclut :
