DES VOLUMES, DES SURFACES ET DES LIGNES U

8. Avant d*arriver aux centres de gravité des lignes, observons que tout solide homogène ayant un centre de figure admet ce centre pour centre de gravité. Car à tout élément de ce solide correspond un élément symétrique par rapport au centre de figure. Ces deux éléments, ayant le même volume, ont des poids égaux, appliqués en deux points symétriques par rapport au centre de figure ; la résultante de ces poids est donc appliquée au centre de symétrie, et il en est de même pour tout autre couple d'éléments symétriques. Un cylindre droit, à base circulaire, par exemple, a pour centre de gravité le milieu de sa hauteur. Cela posé, considéions un cercle de rayon constant, aussi petit que nous voudrons, dont le plan est sans cesse normal à la courbe donnée, et dont le centre se meut sur cette courbe. Ce cercle engendre un solide ayant un centre de gravité, dont la position limite est le centre de gravité de notre ligne. L*élément de ce solide, limité par deux cercles dont les plans sont aussi voisins qu'on veut, peut être assimilé à un cylindre droit, dont le centre de gravité est au milieu de Tare. Soient a?/, y/, Zi les coordonnées de ce point milieu, S/ la longueur de Tare, 9 Taire du cercle. Le volume du solide est un infiniment petit équivalent à «/9, et les équations (1), (2) du paragraphe [précédent donnent, pour déterminer les coordonnées x^ y, ^, du centre de gravité, après la suppression du facteur 9 :

La? = Sa?,*/

Ly = Y^yni (2)

L désignant la longueur totale de Tare. Appelons encore moment d'un arc par rapporta un plan le produit de sa longueur

par la distance de son centre de gravité à ce plan, nous en concluons le théorème suivant : Le moment dCun arc par rapport à un plan est la limite vers laquelle tend la somme des moments de ses éléments quand chacun d'eux est de plus en plus petit,

4. Ainsi le théorème des moments nous fournira souvent le moyen de déterminer le centre de gravité d*un solide, volume, ligne ou surface. Nous nous servirons aussi, bien souvent, du principe de symétrie, que nous allons énoncer. Nous dirons qu'un corps a un plan diamétral si ses points se correspondent deux à deux de telle sorte que la droite qui joint deux points correspondants soit parallèle à une direction fixe et soit divisée par ce plan en deux parties égales. Si un corps homogène a un plan diamétral, son centre de gravité est dans ce plan, car deux éléments qui se correspondent, d'après la loi que nous venons d'énoncer, ont le même poids, et Ton peut admettre que ces poids sont appliqués en deux points correspondants faisant partie des deux éléments, de telle sorte que le point d'application de la résultante est dans le plan diamétral. Il s'ensuit que, si un corps homogène a deux plans diamétraux, son centre de gravité est sur la ligne commune à ces deux plans; et, s'il a trois plans diamétraux ayant un seul point commun, le centre de gravité est en ce point.

On dit qu*une figure plane a une ligne diamétrale si, à chaque point de cette surface, correspond un second point tel que la droite qui joint ces deux points soit parallèle à une direction fixe, et divisée par cette ligne en deux parties égales. Si une surface plane a une ligne droite diamétrale, son centre de gravité est sur cette ligne, pour