MM' ,. 2G
ce qui démontre l'énoncé.
On en déduit une expression élégante de raccélération. En effet, soient OP, OP' [fig. 10) les perpendiculaires abaissées du centre des accélérations sur les tangentes à la trajectoire en deux points M, M', infiniment voisins. Sur OP, OF comptons deux longueurs OV, OV égales aux vitesses en M, M',
c est-a-dire a — * --r;^,- L accélération est égale à la limite vers laquelle tend le
rapport — -j quand A^ tend
vers zéro.
Or ce rapport est égal à
vv' Ae
AO ^ A« et sa limite est égale à
^j ^""^- ^e' Fig. 10.
Mais la position limite de VV, perpendiculaire à la direction de l'accélération, est perpendiculaire à OM, de sorte que A9 est Tangle formé par les normales en V, V, à la courbe lieu des points Y. G*est aussi l'angle formé par les tangentes en ces deux points, et le rapport
yy
AO
a pour limite le rayon de courbure de la courbe, lieu des points V, courbe inverse, par rapport au point 0, de la podaire de la trajectoire. Soit donc p ce rayon de courbure.
UéCÀMIQUE. 5
66 CINÉMATIQUE ëT DYNAMIQUE DÛ POINT
L*accéléraUoD en M est égale à
Supposons que la trajectoire soit une conique ayant un foyer au point F. Le lieu des points P est un cercle (ou une droite, dans le cas de la parabole). La courbe inverse, lieu des points Y, est toujours un cercle, et p est une constante. L'accélération varie alors en raison inverse du carré de la distance du point mobile au centre des accélérations, résultat sur lequel nous aurons Toccasion de revenir.
Réciproquement, si un point se meut de telle sorte que son accélération soit sans cesse dirigée vers un point fixe, et varie en raison inverse du carré de la distance du mobile à ce point fixe, la trajectoire, que nous savons être plane, est une conique. Car le rayon de courbure de la courbe, lieu des points V, est constant, et le point Y décrit un cercle (Introductiorij § 7]. La podaire de la trajectoire par rapport au centre des accélérations étant la transformée du lieu du point Y par rayons vecteurs réciproques, est un cercle ou une droite, et la trajectoire, courbe antipodaire d*un cercle ou d'une droite, est une conique dont un foyer est au centre des accélérations.
