Centre de gravité delà surface d'une zone. — Il

est au milieu de la hauteur delà zone. La démonstration suivante va nous montrer comment on peut faire usage des intégrales définies, dans les questions qui nous occupent. Divisons Tare générateur de la zone en un certain nombre d'arcs infiniment petits, et soit ds Tun d'eux. En tournant autour de la hauteur de la zone, il engendrera une zone dont la surface est un infiniment petit équivalent à la surface du tronc de cône engendré par sa corde. Si Ton désigne par r la distance du milieu de cette corde à Taxe de rotation, cet infiniment petit sera équivalent à 2i:rds ; si Ton admet que le centre de gravité de la zone est entre les deux extrémités de sa hauteur, et si Ton désigne par ;: la distance du plan d*une hase de la zone infiniment petite au plan d*unedes bases

DES VOLUMES, DES SURFACES ET DES LIGNES l()l

de la zone totale, son moment par rapport à ce plan sera équivalent à %:rzds ; de là, l'équation

Z / rds = / rzds

z désignant la distance du centre de gravité au plan de bas 3 de la zone, S Tare total. Mais r peut être remplace ;tar la distance à Taxe du point qui, situé sur l'arc, a p;^'Tr cote z. Alors» en désignant par R le rayon de la sphère, par a la distance de son centre au plan de base de la zone, on a :

5 =: R aro cos Jr —

y/ R=* — (a + zY

Désignant encore par h la hauteur de la zone, i transformera réqualiorx précédente comme il suit :

Z / dz = I zdz^

et Ton en conclura :

Exercice. — Déterminer le centre de gravité de la portion de surface d'un paraboloïJe de révolution, comprise entre deux plans perpendiculaires à son axe.

11. Arrivons aux centres de gravité des volumes, et proposons-nous, en premier lieu, de déterminer le centre de gravité d'un prisme triangulaire. A cet effet, observons que le plan

UKCANIQUB. 1 1

passanl par les milieux des Irois arêtes est un plan diamétral relativement à la direction de ces trois arêtes. Le centre de gravité est donc dans ce plan, que nous désignerons par P. Dans le plan d*une face latérale, traçons une droite parallèle aux arêtes du prisme, et équidistante des deux arêtes latérales contenues dans ce plan. Par cette droite et par l'arête opposée, faisons passer un plan Q; c'est encore un plan diamétral. Les deux plans P, Q se coupent suivant une médiane de la section triangulaire faite par le plan P dans le prisme. Donc le centre de gravité du prisme est situé sur toute médiane de ce triangle. Il est donc confondu avec leur point de concours.

On vérifiera, sans difficulté, que ce centre de gravité est aussi le milieu de la droite qui joint les centres de gravité des bases du prisme ; et ce résultat s'étend aisément à la recherche du centre de gravité d'un prisme polygonal. En effet, obser* vons d'abord que les milieux de toutes les arêtes latérales sont situées dans un même plan P, et que ce plan est un plan diamétral. Puis, si l'on décompose le prisme polygonal en prismes triangulaires, on constate que ce plan contient les centres de gravité de tous ces prismes triangulaires. Ce sont les centres de gravité des sections faites dans tous ces prismes triangulaires parce plan. On trouvera donc le centre de gravité du prisme polygonal, en composant un système de forces parallèles, appliquées aux centres de gravité de ces triangles, proportionnelles aux volumes des prismes triangulaires dont ils sont les bases, par conséquent porportionnelles aux aires de ces triangles, puisque tous les prismes ont la même hauteur. Le centre de gravité du prisme polygonal sera donc le centre de gravité du polygone suivant lequel ce prisme est coupé par le plan P. Soit G ce centre de gravité : si l'on mène du point G