Centre de gravité du volume d'un tétraèdre
11 est situé sur la droite qui joint un sommet au centre de gravité de la base opposée, à une distance du plan de cette base égale au quart de la hauteur du tétraèdre.
En effet, le tétraèdre ABCD (fig. 32) admet pour plan diamétral, relatif à la direction CDy le plan qui passe par Taréte AB et par le milieu M de CD. Le centre de
gravité est donc dans ce plan. Mais il est aussi dans le plan qui passe par AD et par le milieu N de BC. Il est donc sur la
ligne d*inlerseclion de ces deux plans. Cos deux plan?, coupant BCD suivant deux médianes BM, DN, delà base du tétraèdre, se coupent suivant une droite qui joint le sommet A du tétraèdre au point g^ centre de gravité de BCD. Ceci montre déjà que le centre de gravité du tétraèdre est sur la droite qui joint le sommet A au centre de gravité g de la face opposée. Il est aussi sur la droite qui joint le sommet B au centre de gravité g' de la face opposée ACD ; ces deux droites sont dans un même plan, et se coupent, comme on devait s*y attendre, en un point G. Je dis que (jg est le tiers de GA. En effet, gg' est
parallèle à AB, puisque les rapports jrr"' tj"» sont égaux l'un
et Tautre à 1/3. Donc, les deux triangles GAB, ^gg' sont semblables, et Ton a :
G/7 gg' M<7 1
GA "" AB "" MB ~ 3'
Ce qui démontre Ténoncé.
De là, la détermination du centre de gravité d'une pyramide polygonale. Décomposons sa base en triangles, et décomposons la pyramide donnée en pyramides triangulaires ayant pour sommet commun le sommet de la pyramide polygonale, et pour bases les triangles dans lesquels sa base est décomposée. Toutes ces pyramides triangulaires auront leurs centres de gravité dans un même plan, parallèle au plan de base, situé, à partir de celui-ci, au quart de sa hauteur; scit P ce plan. 11 coupera toutes ces pyramides triangulaires suivant des triangles, ayant pour centres de gravité les centres de gravité des tétraèdres correspondants : car il est bien clair que, sur la figure précédente, le point G est le centre de
DES VOLUMES, DES SURFACES ET DES LIGNES ib5
gravité de la seclion faite dans la pyramide ÀBCD par le plan, mené par G, parallèlement au plan BCD. Soient donc ^,,^a, ^3 ... les centres de gravité de ceslriangles;*^, Jj, s^ ... leurs aires : on est conduit à composer des forces parallèles et de même sens appliquées en g^^ g^ ... et proportionnelles aux volumes des tétraèdres correspondants, par suite proportionnelles à «,, 5^, ^3 ... On trouvera le centre de gravité de la section faite par le plan P dans la pyramide donnée. D'ailleurs, on démontre aisément que deux polygones homothétiques ont pour centres de gravité des points homologues. Si donc on joint le sommet de la pyramide au centre de gravité trouvé, la droite obtenue passera par le centre de gravité de la base, et les deux segments qui vont du centre de gravité de la pyramide, Tun au sommet, Tautre au centre de gravité di la base, seront entre eux dans le rapport de 3 à 1.
Le centre de gravité (Tun cône, étant la position limite du
centre de gravité d'une pyramide inscrite, dont les faces
latérales sont en nombre indéfini, est aussi sur la droite qui
joint le sommet au centre de gravité de la base, au quart à
• partir de la base.
18. Pour trouver le centre de gravité du volume d'un secteur sphérique, on décomposera la surface de la zone qui sert de base à ce secteur en éléments infiniment petits : chacun d'eux sera la base d'un cône ayant pour sommet le centre de la sphère, et dont le centre de gravité sera sur le rayon qui aboutit au centre de gravité de la base, aux 3/4 à partir du centre. Tous ces centres de gravité seront aussi les centres de gravité des éléments dans lesquels est décomposée
.la surface d*une zone homothétique, par rapport au centre de la sphère, de la zone limitant le secteur donnée, et compté sur une sphère dont le rayon est égal aux 3/4 du rayon de la ^plière donnée. On est conduit à composer des forces paral- <4èles, appliquées aux centres de gravité de ces éléments et tproportionnelles à leur surface, puisque les cônes infiniment rpetils ont même hauteur. On obtient ainsi le centre de gravité vde cette zone auxiliaire.
Si le secteur sphérique est une hémisphère, la zone auxi- ^liaire est la surface d*une autre hémisphère concentrique à «la première, ayant sa base dans le même plan, et ayant un (rayon égal aux 3/4 du rayon de l'hémisphère donnée. Donc : Le centre de gravité d'une hémisphère est sur le rayon perpen^ jiiculaxre à sa base, aux 3/8 à partir du centre.
