CHAPITRE III

CENTRES DE GRAVITÉ [suite)

Théorèmes de Gnldin. — Applications. — Vol orne d'an prisme tronqué ; d'un cylindre tronqué. — Théorème de Ghasles. -— Théorème sur le mouvement d^un système de points matériels. — Travail de la pesanteur dans le mouvement d'un tel système.

1. Les théorèmes de Guldin ont pour objet immédiat de faire connaître la surface engendrée par la rotation d*une ligne plane autour d'un axe situé dans son plan ou le volume du solide engendré par la rotation d'une aire plane, autour d*un axe également situé dans son plan. Indirectement, leur application permet, comme on Je verra par des exemples, de connaître les centres de gravité de certaines lignes et de certaines surfaces planes. Le premier de ces théorèmes s*énonce ainsi :

La surface engendrée par la rotation cTune ligne plarte autour cTun acoe situé dans son plan, mais ne coupant pas Cette ligne^ a pour mesure le produit de la longueur de cette ligne par la longueur de la circonférence que décrit son centre de gravité.

On remarquera d'abord que, si )a ligne plane dont il s'agît est une ligne droite, le théorème ne diffère pas de celui qu'on de'monlre en géométrie élémentaire, dans le but d'évaluer la surface engendrée par la rotation d'un segment de ligne droite autour d'une autre droite qui, située dans le même plan, ne rencontre pas ce segment entre ses deux extrémités. Ensuite nous rappellerons qu'on nomme surface engendrée par une ligne courbe, tournant autour d'une droite située dans son plan, la limite vers laquelle tend la somme des surfaces engendrées par les côtés d'une ligne brisée, inscrite dans la courbe, lorsque le nombre de ses côtés croît au-delà de toute limite. Soient donc l^J Z,, Z3 ... les longueurs de ces côtés, ^|, 8, ... les distances de leurs milieux à l'axe de rotation, L la somme des longueurs des côtés de la ligne brisée, A la distance de son centre de gravité à Taxe de rotation. La somme des surfaces engendrées par les côtés de la ligne brisée est égale à

Mais, en appliquant le théorème des moments par rapport à un plan mené par l'axe de rotation perpendiculairement au plan de la figure, on trouve

et la surface engendrée par la rotation de la ligne brisée est égale à

SttLA.

Sa limite est donc égale à :

(27c.lim A) X lim L, ce qui démontre l'énoncé.

THÉORÈMES D£ GULDIN 169

2. Veul-on, par exemple, évaluer la surface totale du lore, ou solide engendré par la rolalion d'une circonférence autour d*un axe qui, situé dans son plan, n'a, avec elle, aucun point commun réel. On désignera par II le rayon de la circonférence, par a la distance de son centre à Taxe de rolalion, et l'on trouvera, pour la surface cherchée, SttR X 27ia, ou 4TT^Ra.

8. Si Ton connaît, au contraire, la longueur de la ligne, et si Ton sait évaluer la surface engendrée par sa rotation, on en déduira, comme il suit, la distance du centre de gravité à Taxe. Soit L la longueur de la ligne génératrice, S la surface engendrée, x la distance du centre de gravité de cette ligne à Taxe : le théorème de Guldin se traduit par Téquation :

SttLo? = S,

doù Ton déduit :

SttL

Si, par exemple, la ligne dont il s'agit est un arc du cercle de rayon R, on sait que cet arc, en tournant autour d'un diamètre parallèle à sa corde, décrit une zone dont la hauteur est égale è. cette corde. Soit donc c celte corde. Ici S = 2wRc, et Ton trouve immédiatement :

résultat déjà établi antérieurement.

4. Voici le second théorème de Guldin : Le volume engendré par la rotation dune aire plane autour d*un axe situé dans son plan et ne pénétrant pas à r intérieur de cette surface

a pour mesure le produit de cette aire par la circonférence que décrit son centre de gravité.

Supposons d'abord que Taire dont il s'agit soit celle d*un triangle ABC {fig. 33) ayant un sommet A situé sur Taxe de rotation. Soient, dans ce triangle, AH la hauteur issue du som-

Flg. 33.

met A, M le milieu du côté BG, G le centre de gravité de la surface, situé, comme on le sait, sur la médiane AM, à une distance de A égale aux deux tiers de la médiane, de sorte que, si Ton mène les droites MN, GP perpendiculaires sur Taxe Ao?, on ait :