GP = I MN

Soit V le volume qu'il s'agit d'évaluer. D'après la géométrie •élémentaire :

V = I AH.surf BG = I icAH.BG.MN = surf ABC X | TtMN

= surf ABC X ÎTcGP,

ce qui démontre l'énoncé.

Supposons encore qu'il s'agisse d'un triangle ABC n'ayant •aucun sommet sur l'axe de rotation yx {fig. 34). Deux au moins de ses côtés rencontrent cet axe : soit par exemple D le

THÉORÈMES DE 6ULDIN

point de rencontre des deux droites BA, yx^ et soient aussi ^, g' les centres de gravité des triangles DBG, DAG ; y, y leurs projections sur Taxe. Le volume cherché est égal à :

Stt (surf DBG Xçy — surf DAC X gY

Fig. 34.

Soient encore 6 le centre de gravité du triangle ABC, E sa projection sur l'axe, de telle sorte que, d'après le théorème •des moments :

Surf DBG Xgf = surf DAC X g^ + surf ABC X GE.

D'après ce qui précède, le volume que nous voulons calculer sera égal à :

(ÎTcGE) X surf ABC

ce qui démontre l'énoncé.

Si l'aire qu'on fait tourner autour d'un axe est celle d'un polygone, on décomposera l'aire de ce polygone en triangles : soient S|, S^ ... S„ leurs surfaces, S l'aire du polygone, ^i, B, ... t„ les distances des centres de gravité des triangles, A la distance du centre de granité du polygone à l'axe de rotation. Le volume du solide engendré par la rotation du

polygone sera égal à

et, à cause du Ihéoréme des moments, à :

27rA.S

ce qui démontre l'énoncé.

RnOn, si Taire considérée est limitée par une courbe, on regardera son centre de gravité comme la position limite du centre de gravité d'un polygone inscrit, dont le nombre des côtés croît indéfiniment, et le volume engendré sera égal à

(271 lim A) X lim S

ce qui démontre l'énoncé.

5. Applications. — A. Avec les notations précédemment adoptées, on voit que le volume du tore est égal à 2n^R^a,

B. Etant donné un secteur circulaire, faisons-le tourner autour du diamètre parallèle à la corde de l'arc qui le limite. Soient c la longueur de cette corde, l la longueur de l'arc, R

le rayon du cercle auquel il appartient ; sa surface est égale à

- R/, et le volume du secteur sphérique engendré par sa rota-

tion est égal à - irR^c. Si donc on appelle œ la distance du

centre de gravité à l'axe de rotation, ou, ce qui est la même chose, au centre de la sphère, on trouvera, en appliquant le théorème précédent, et supprimant le facteur ?rR.

la: = ^RCy ^ ~ 3 ^* 7'

résultat précédemment établi.