VOLUME DU PRISME TRONQUÉ

G. Cherchons encore le centre de gravité d'un segment de cercle. Soient R le rayon du cercle auquel il appartient, 2x Tangle au centre qui définit le segment, su surface sera égale à R^ (a — sin a cos a), et, en tournant autour du diamètre parallèle à sa corde, il engendrera un anneau, dont le volume est

égal à - 7c R^ sin' a. Si donc on appelle x la dislance de son

centre de gravité à Taxe de rotation (ou au centre de la sphère), on trouvera, après avoir supprimé le facteur SttR*

(a — sin a) a? z=: - R sin ^a.

2 sin ^a

3 a — sin a cos a

6. Comme application des notions acquises sur les centres de gravité des surfaces, nous indiquerons encore le théorème qui fait connaître le volume d'un prisme tronqué. S'il s'agit d'un prisme triangulaire, on démontre aisément que ce volume est égal au produit de la section droite par la moyenne arithmétique des arêtes latérales, car un tel prisme est équivalent, comme on sait, à la somme de trois pyramides, ou au tiers de la somme de trois prismes ayant pour hase commune une des bases du solide, et pour arêtes respectivement ses trois arêtes latérales ; et chacun de ces prismes a pour mesure le produit de la section droite par Tune des arêtes latérales : de là, le théorème énoncé.

Mais la moyenne arithmétique des arêtes latérales est égale à la distance des centres de gravité des bases du trône de prisme. En effet, soient ABC, DEF les deux bases du tronc [fig, 35); M, N, les milieux de EF et de AC. On sait que la droite MN est parallèle aux arêtes latérales. Elle est donc con-

tenue dans un pian, qui contient également DB. D'autre party si G, H sont les centres de gravité des bases du tronc, on a :