VOLUME DU PRISME TRONQUÉ
Je dis qu*en général le volume cTun tronc de prisme poly-' gonal a pour mesure le produit de faire de sa section droite par la distance des centres de gravité de ses bases. En effet, supposons d'abord que Tune des bases soit une section droite. Divisons le tronc de prisme en troncs de prismes triangulaires, et soient s^, s^^ s^,.. s„ les aires des basée de ces troncs de prisme, dont le plan est oblique aux arêtes latérales, a Tangle de ce plan avec le plan de la section droite, 84, $3... l„ les distances des centres de gravité des triangles déQnis ci-dessus, au plan de la section droite qui sert de base. Le volume du tronc de prisme a pour mesure, d'après ce qui précède :
COS a {s^Z^ + *2^2 + ••• + ^n^n)i
et, si l'on appelle S l'aire de la base du tronc, qui est oblique aux arêtes latérales, on voit, par le théorème des moments, que ce volume est égal à :
A.S COS oc.
Or S COS a est l'aire de la section droite, et il reste à démontrer que la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de la base oblique sur le plan de la section droite passe par le centre de gravité de cette section. En effet, soient pr^, g^ les centres de gravité de deux des triangles dans lesquels on a divisé la base oblique, ^4, «3, leurs surfaces. Le point d'ap* plication de la résultante de deux forces parallèles et de même sens, proportionnelles à J|, s^ appliquées en ^| et ^3, divise
la distance g^, g^ dans le rapport -^> et la projection sur le
plan de la section droite divise dans le même rapport la distance des centres de gravité des projections de ces deux
triangles. Ce rapport est aussi le rapport des aires des sections drpites des deux prismes triangulaires correspondants ; et ainsi de suite.
Le théorème est donc démontré dans le cas où Tune des j
bases est une section droite. Si les plans des deux bases sont obliques aux arêtes latérales, on coupera le prisme par un • plan perpendiculaire aux arêtes latérales, tel, par exemple, que la section droite obtenue soit extérieure au tronc de prisme. Soient S Taire de cette section droite, A, A' les distances des centres de gravité des bases du tronc au plan de cette section droite, le volume du tronc sera égal à :
et comme les centres de gravité des deux bases et de la section droite sont sur une même droite, A — A' est bien la distance des centres de gravité des surfaces des bases. Le théorème est donc démontré.
On passe de là au volume du cylindre tronqué, en considérant ce volume comme la limite du volume d'un tronc de prisme inscrit, dont le nombre des faces latérales croit audelà de toute limite. On en conclut que le volume de ce solide a aussi pour mesure le produit de Taire de sa section droite par la distance des centres de gravité des bases.
7. Donnons encore, comme application, le théorème de Chasles : Si un point matériel est sollicité par des forces cUri gées vers d* autres points matériels A,, Aj, A3... A„, égales aux produits de ses distances à ces points par des coef/îcienls ^1» ^2» ^z'" ^ni la résultante de ces forces est dirigée vers le
centre de gravité d'un système de masses ^égales à rt|, a^
a„, placées aux points A^, Aj,.»» A„, et égale au produit de
THÉORÈME DE GHASLES 177
la distance du point sollicité à ce centre de gravité par la somme de ces masses.
En effet, prenons le point sollicité pour origine d'un système d'axes rectangulaires, et soient a?/, y^, zi les coordonnées du point A/. La force dirigée suivant OA/, égale à a/. OA/ se projette sur Oo; suivant une composante égale à
atOki X cos (Oj7, OA,),
c'est-à-dire à û/o?/. SoientX,Y,Z, les projections de cette résultante sur les trois axes. On aura :
X = Sa/O?/, Y = S^r,y/, Z = Sa/^-,-,
ou bien, en désignant par a?, y, z, les coordonnées du centre de gravité du système de masses :
X = œJlai Y = yUai Z = ^Sa,-.
On en conclut
or y z ''
et cela prouve que la résultante est dirigée vers le point
De plus, chacun des rapports qui précèdent est égal à
Soit donc R la résultante. On aura :
R = Va?« -f y» ^ z^ Stfi,
ce qui démontre Ténoncé.
8. Revenons mainienani au mouvement d*un point matériel sollicité par des forces dont les projections surOâ?, OyjO-asont, resprctivement, X^, Y^, Z^, X^, Y^, Zj, X3, Y3, Z3... ; soittnsamasse. Les équations dont il s'agit sont les suivantes
cPy
cPz
• rm
"^ rf? = ^« + ^^ +
Supposons qu'un tel point fasse partie d'un sj'slème de points matériels, dont nousappellerons les coordonnées a?f^,yp7i
^2» t/iy -^2' ^3' ^3» ^z"' ^^^ masses m^, m^, m^ A chacun
de ces points correspond un système de trois équations de la forme précédente. Si Ton ajoute membre à membre toutes celles qui se rapportent aux ordonnées x de ces points €t qu'on désigne, pour abréger, par SX la somme des projections sur Ox de toutes les forces qui agissent sur tous ces points, on trouve :
OU bien, en appelant M la somme des masses, x l'ordonnée x du centre de gravité du système
On trouverait de même
