CHAPITRE II

Corps solide : point matériel. — Forces. — Prinoipe de l'inertie. — Principe des mouvements relatifs. — Forces constantes en grandeur et en direction. — Poids : proportionnalité des forces aux accélérations. — Mouvement des projectiles dans le vide. — Composition des mouvements dus à plusieurs forces, constantes en grandeur et en direction.

1» Dans le langage usuel, un corps est dil solide si Ton ne peut le briser ou le déformer qu'en exerçant sur lui un certain effort. Plus cet effort est considérable, plus le corps est solide, au sens vulgaire du mot. De là, la notion abstraite de corps solide, comme on Tenlend en Mécanique. On imagine un corps dont tous les points restent invariablement liés les uns aux autres, quelque effort qu'on exerce sur lui, et on le désigne sous le nom de solide invariable ou solide.

D'après cela, tout effort s'exerçant sur un solide qui, n'étant rattaché par aucun lien aux solides environnants, peut se mouvoir librement dans Tespace, tendra simplement à lui communiquer un certain mouvement, sans parvenir à le briser ou à le déformer. Un tel effort est habituellement

désigné sous le nom de force, et, quelque idée métaphysique que Ton se fasse de la force, la notion en est inséparable des notions de point d'application, de direction et d'intensité, que nous allons élucider. Le point d'application d'une force est le point du solide sur lequel elle s'exerce plus particulièrement. Ainsi, pour soulever un fardeau au moyen d'un câble, on attache le cAble en un point du solide, point qui n'est certainement pas un point géométrique, mais qui nous donne la notion d'un effort s'exerçant plus particulièrement en un point géométrique du solide abstrait. Ce point se nommera le point d'application de la force.

Supposons maintenant qu'une force agisse sur un solide libre, primitivement en repos. Sous l'action de celte force, le point d'application tendra à se mouvoir, et son mouvement, au début, sera dirigé suivant une certaine droite qu'on appellera la direction de la force. Il est bien entendu que cette droite sera comptée dans le sens du mouvement initial du pomt d'application.

En ce qui concerne l'intensité de la force, on conçoit que l'effort exercé sur un corps pour le déplacer soit plus ou moins grand, et l'on peut chercher à mesurer cet effort. Nous y parviendrons après avoir acquis la notion de point matériel. Lu considération d'un solide, de dimensions de plus en plus faibles, susceptible néanmoins d'être déplacé sous l'action d'une force, nous conduit à l'idée abstraite d'un solide dépouillé de toute dimension, susceptible néanmoins de se déplacer sous une telle action. Ce solide idéal se nomme un point matériel; et cette propriété le distingue essentiellement du point géométrique. Concevons maintenant que deux forces agissent simultanément sur un point matériel, suivant la

CORPS soude; forges 69

même droite, mais en sens contraire. Si le point matériel, primitivement au repos, reste au repos, nous disons que les deux forces sont égales.

Supposons encore que, sur un même point matériel, deux forces agissent simultanément dans le même sens. Sous Taction de ces deux forces, le point matériel, supposé primitive* ment au repos, va se mettre en mouvement, et Ton conçoit qu*il existeune force unique, propre à produire le même effet, en supposant qu'elle agisse suivant la même droite et dans le même sens. Cette force unique se nomme la somme des deux premières. On conçoit même qu'une force puisse être regardée comme la somme de deux, trois, quatre forces égales. Si Tune de ces dernières est prise pour unité de force, et si la force donnée est la sonme dep d'entre elles, elle sera mesurée par le nombre p. Si la force unité est, à son tour, la somme de q forces égales, et que la force donnée soit la somme

de p de ces dernières, elle sera mesurée par la fraction -•

Enfin, si la force donnée n'est pas commensurable avec l'unité, on pourra toujours imaginer deux suites de nombres, l'une croissante, l'autre décroissante, telles que tout nombre de la suite croissante soit inférieur à tout nombre de la suite décroissante, et que deux nombres occupant le même rang dans les deux suites difTènent d'un nombre qui tend vers zéro, quand ce rang est de plus en plus élevé. On pourra former ces deux suites de telle sorte que les nombres de Tune d'elles mesurent des forces plus petites que la force donnée, les nombres de l'autre suite mesurant des forces plus grandes. De cette manière on aura défini un nombre incommensurable, qui sera la mesure de la force donnée.

Gela suffit pour se faire une idée nette de Tintensité d*une force donnée : c'est une grandeur concrète, ayant pour mesure le nombre que nous venons de déGnir.

2. Mais on ne peut étudier ies relations numériques qui existent entre cette grandeur et les éléments du mouvement que la force, ainsi mesurée, communique à un point matériel, sans admettre, à titre de postulala, les deux principes que nous allons énoncer. Le premier d*entre eux se nomme le principe de Finertie. On a coutume de diviser son énoncé en deux partiefi. L'une d*elles consiste à dire que, si un point matériel, primitivement au repos, n*est sollicité par aucune force, il restera indéfiniment au repos. Mais cette proposition ne nous apprend rien de nouveau : on Ténonce tout aussi bien en disant qu'on appelle force toute cause capable de mettre en mouvement un point matériel primitivement en repos. Le véritable intérêt du principe de Tinertie réside dans la deuxième partie qu*on donne habituellement à son énoncé. Elle consiste en ceci : Si un point matériel est en mouvement sous Faction cTune force^ ou cTun système de forces^ et si toutes ces forces cessent^ à un moment donnée d'agir sur lui^ il continue à se mouvoir en ligne droite, d'un mouvement uniforme, et^ suivant la tangente à sa trajectoire, au point qu'il occupait lorsque les forces ont cessé d'agir.

On rencontre souvent, en physique, des vérités, désignées BOUS le nom de principes, que Ton admet sous le bénéfice d*une démonstration ultérieure, consistant dans la vérification expérimentale de ses conséquences rationnelles. Sans doute le principe de Finertie peut être regardé comme une vérité de cet ordre. Mais on peut dire aussi qu'il est le résumé

PRiNcrPE d'inertie 71

et comme la synlhèse d'un grand nombre de faits, que l'expérience Gonllrme directement.

Mais le programme que je me suis tracé ne comporte pas un cours de

mécaniqueexpérimentale;Je me bor- |

□erai à citer une seule expérience.

La machine d'Alwood [flg. 11), réduite à ses organes essenlielR, se compose d'une poulie pouvant tourner autour d'un axe horizontal 0, et dont la gorge supporte un fil aux extrémités duquel sont attachés deux poids égaux, PP'. L'un d'eux, P', peut se mouvoir en face d'une règle graduée AB, portant deux curseurs, l'un, C muni d'une plate-forme, l'aulre, C,évidé. L'expérience montre que l'appareil ainsi disposé reste au repos tant qu'aucune force extérieure n'agit sur lui. Mais si l'on amène le poids P' au point le plus haut de sa course, et qu'on le surcharge d'un poidsadditionnelp,iltomberaielong de la règle, en se mouvant suivant noe loi que nous n'éludions pas pour le moment. Le poids additionnel, de forme alloagée, est disposé de ma- |

nière à pouvoir être retenu par l'anneau C. Quand le poids P' sera arrivé à la hauteur de l'anneau, il con- f'S' K-

tinuera à se mouvoir, quoique débarrassé du poids additionnel. Mais, si le principe de Tinertie est vrai, son mouvement, à partir du moment où il aura franchi Fanneau, sera un mouvement uniforme. C'est ce qu'on vérifie de la manière suivante : Muni d*une montre ou d*une horloge suffisamment précise, Tobservateur cherche, par tâtonnements, en quel point il faut placer le curseur plein pour que le poids F vienne le frapper une seconde après avoir franchi Tanneau. Soit a la distance qui sépare alors les deux curseurs. Répétant la même expérience pour deux, trois, quatre ... secondes, on trouve, pour les distances qui séparent les deux curseurs après les diverses expériences, 2a, 3a, 4a ... et ainsi de suite.

S. Le principe des mouvements relatifs est une vérité du même ordre. On Ténonce ainsi : Si un point matériel, entraîné dans le mouvement d'un système doué d'un mouve^ ment de translation, est soumis à une force ou à un système de forces, son mouvement propre, ou mouvement relatif par rapport au mouvement du système^ sera le même que si celui-ci était en repos. Par exemple, si du sommet du mât d*un navire en marche, sans roulis ni tangage, on laisse tomber un corps pesant, on le verra tomber au pied du mât, comme si le navire était en repos.

4. Revenons maintenant à la composition des mouvements. La règle du parallélogramme des vitesses, appliquée à un mobile ayant un mouvement propre, par rapport à un système en mouvement, montre que si la vitesse du mouvement propre à un moment donné a la même direction que la vitesse du point coïncidant, la vitesse du mouvement résultant sera la somme de ces deux vitesses. Cette remarque,

jointe aux deux principes qui précèdent, permet d'énoncer le théorème suivant :

Théorème. — Une force ^ constante en grandeur et en direc^ tion^ agissant sur un point matériel ^ lui communique un mou^ vement rectiligne uniformément variée dans sa propre direction. Supposons d'abord que le point matériel soit primitivement au repos. A partir du moment où la force agit sur lui, il se meut sans s*écarter de la direction de la force ; car, si celle-ci agit primitivement suivant la droite Ox^ et que le point vienne occuper, à un moment donné, une position M, non située sur celte droite, il occupera en même temps, et pour les mêmes raisons, la position M' symétrique de M par rapport à Oo?, ce qui ^ est absurde. Donc il ne s'écartera pas de la droite Oœ.

Considérons maintenant un système de points, en tout identiques au point donné, soumis, chacun, à une force égale et parallèle à la force donnée. Chacun d'eux suivra une trajectoire parallèle à Oo?, et l'ensemble de ces. points constituera un système solidaire avec le point donné. Mais si, au temps 9, toutes les forces viennent à disparaître, sauf celle qui agit sur le point donné, le système continuera à se mouvoir, suivant le principe de l'inertie, d'un mouvement rectiligne et uniforme, parallèlement à Ox, Soit v la vitesse de ce mouvement ; c'est aussi celle du point matériel au temps 9. Quant à celui-ci, il continue à participer au mouvement du système, mais il a, par rapport au système, un mouvement propre dont la vitesse, après un nouvel intervalle 9, est égale à 17, car elle est la même que si le système était en repos.

Fig. 11 biê.

Donc la vitesse du mouvement résultant, au temps 29, est égale kiv. De môme, si pendant le temps 2G, compté à partir du moment où la force commence à agir, on considérait le point comme faisant partie d'un systc^mede points, tous identiques, tous soumis à des forces égales et parallèles à celle qui le sollicite : si, au moment20, on supposait que toutesles forces cessent d'agir, excepté celle qui entraîne le point, on verrait qu'après un nouvel intervalle 0, compté à partir du temps 29, la vitesse du point est égale à 3^;. En résumé, elle est égale à nv, au temps nO, quelque petit que soit 0. Donc la vitesse du point varie de quantités égales dans des intervalles égaux, si petits que soient ces intervalles. Donc elle varie proportionnellement au temps, et le mouvement du point est uniformément varié, avec une vitesse initiale nulle, au moins dans lecasactuel.

Si le point considéré était primitivement en mouvement dans la direction de la force, on pourrait encore imaginer un système de points, soumis à des forces égales et parallèles à celle-là. Par rapport à ce système, le point conservera, comme mouvement propre, son mouvement primitif, et la vitesse du mouvement résultant sera égale à la somme des vitesses de ce mouvement propre et du mouvement uniformément varié dû à l'action de la force. Si le mouvement primitif était un mouvement uniforme, de vitesse a, et si l'accélération du mouvement uniformément varié dû à la force est y, la vitesse du mobile au temps t sera a -f- ^t.

Plus généralement, s'il était, au début, doué d'un mouvement rectiligne uniforme, mais non dirigé dans la direction de la force, on pourrait imaginer un système de points soumis, comme précédemment, à des forces égales et parallèles à la force donnée, tous identiques au point donné et consti^

tuant, par conséquent, un système solidaire. Le point considéré aurait, par rapport à ce système, un mouvement propre, d'accélération nulle, et son accélération serait sans cesse égale et parallèle à celle de Taccélération d'entraînement. C'est ce qui arrive s'il s'agit d'un point matériel pesant, c'està-dire soumis à une force verticale de grandeur constante. Nous allons étudier le mouvement d'un tel point : c'est, à proprement parler, le mouvement que prendrait un projectile réduit à un point, s'il n'y avait pas à tenir compte de la résistance que l'air atmosphérique oppose à son mouvement.

5. Le projectile est lancé par la bouche à feu dans une direction OT {fig. 12) qui fait avec l'horizontale un angle a, et, s'il n'était pas pesant, il se dirigerait suivant la droite OT, avec une vitesse v^, qui est précisément sa vitesse initiale. Nous prendrons pour axe des -8' la verticale partant du point ; pour plan des zx le plan vertical passant par la direction de la vitesse initiale, et nous supposerons l'axe Oj/ perpendiculaire au plan ZOo?. L'accélération du mobile est constante :

appelons-la g. Elle se projette sur Taxe des z en vraie grandeur, et d'après les équations qui font connaître les projections des accélérations nous trouvons :

Fig. 12.

dfi "■ ^' dfl

Les deux premières équations donnent :

dx dy ,

a, b désignant des constantes. Mais, au tenaps zéro, la vitesse Vq dirigée suivant OT a pour projection sur Oa?, t?^ cosa, pour projection sur Oy, zéro, et l'on trouve

^ = ^ocosa,^ = o. (2)

De celte dernière équation, on déduit y = c et comme e est nulle au temps zéro, on a sans cesse y = o. Donc le projectile se meut dans le plan vertical passant par OT. On déduit aussi des équations (i), (2):

a? = t?^ cosa.^ (3)

puisque a? est nulle pour ^ = o, et

^ = WoSina«— -gt\ (4)

dz puisque, au temps zéro, z est nulle, et que -j-» projection de

la vitesse sur 0^, est égale à v^ sin a. Les équations (3) et (4) permettent de trouver Téquation de la trajectoire. Il suffît, pour y parvenir, d'éliminer / entre ces deux équations. On trouve ainsi :

z = tKa. X — — » * x^ f5)

^ 2 vl COS^Ql ^ '

Donc la trajectoire est une parabole, dont Taxe de symétrie est parallèle k Qz. Elle coupe Taxe des x en deux points, dont Tun coïncide avec le point 0, et dont Tautre est à une

distance x de Torigine, égale à-^ • C'est la portée du tir.

Étant donnée t;^, qui dépend exclusivement de Tarme et de sa charge, on peut se proposer de déterminer a de telle sorte que la portée du tir soit maximum : il faut, pour cela, qu on

ail 2x = 90*, ou a = 45". Le maximum de z (flèche) a lieu

pour X = -^~î : elle est égale à -^^ 1 comme il résuUe

immédiatement deTéqualion [5j. Ces valeurs de a? et de jr sont les coordonnées du sommet de la trajectoire. Son paramètre est égal à la sous-normale, c'est-à-dire à l'ordonnée, changée de signe, du point où la normale au point rencontre Taxe de la parabole. Or cette normale a pour équation

^ = — X cot(7a, et Téquation de Taxe de symétrie est :

v\ sin2x

V COS QL

Donc le paramètre est égal à ^ — • A partir du sommet,

comptons sur l'axe une. longueur égale à la moitié du paramètre. L'extrémité de cette longueur est située sur la directrice. Donc la directrice a pour équation

Sa distance à Taxe Ox est indépendante de a, et l'on en conclut que, quel que soit^ l'angle de tir, la trajectoire aura toujours la même directrice. Si a varie, son foyer F décrira une circonférence ayant pour centre le point et pour

rayon ^j carie point F doit être sans cesse k la même distance du point et de la directrice. Soient F le foyer d'une telle parabole {fig, 13) ; G le point, différent du point 0, où elle est coupée par la droite OF ; si ot varie, le lieu du point G est une parabole fixe, car, si l'on trace la droite GP, perpendiculaire à la directrice commune à toutes ces paraboles, on doit

avoir GF = GP ; et si l'on compte, à partir de P, PQ e'gale à 01, on aura GO = GQ. Mais le lieu du point Q est une droite fixe, perpendiculaire sur 0^ à une distance du point égale

à -^* Donc le point G est sans cesse à égale distance d*un

point fixe et d'une droite fixe. Au point G, les deux paraboles ont la même tangente. Donc la parabole, lieu du point G, est l'enveloppe des trajectoires qui répondent aux diverses valeurs de a.

Pig. 13.

Veut- on maintenant délerminer, parmi ces trajectoires, celle qui passe par un point donné M ? La solution graphique du problème consistera à trouver le foyer d'une parabole qui passe par deux points donnés 0, M, et dont la directrice est donnée. Ce foyer doit être sur le cercle décrit du point

comme centre avec un rayon égal à r^? et aussi sur le cercle

ayant le point M pour centre, et pour rayon la distance du point M à la directrice. Analytiquement, la question revient à résoudre Téquation (5) par rapport à a, en y considérant a? et z comme les coordonnées du point donné M. On trouve

ainsi

et la condition de réalité des racines de cette équation consiste en ceci :

Cette inégalité exprime que le point P doit être intérieur à la parabole enveloppe que nous avons déjà trouvée ; car, en égalant le premier membre de cette inégalité à zéro, on trouve Téquation de cette enveloppe, et l'on constate que ce premier membre est positif si Ton y remplace a? et ^ par les coordonnées du point et, par conséquent, par les coordonnées de tout point intérieur à cette parabole. Quand les racines de cette équation sont réelles, elles donnent pour Tangle aigu a deux valeurs distinctes a', a^ complémentaires, puisque le produit de leurs tangentes est égale à i ; et les deux positions correspondantes de OT sont également inclinées sur la bissectrice de l'angle xOz.

6. Considérons maintenant diverses forces F, F, F*'.... agissant sur un même point matériel, et soient y» y'> t'' ^^^ accélérations des mouvements uniformément variés que chacune d'elles lui imprimerait si elle agissait seule sur ce point. Le principe de la proportionnalité des forces aux accélérations consiste en ce que les forces F, F', F^ sont entre elles comme les accélérations correspondantes y, y', y'... ; et nous aurons démontré cette proposition si nous faisons voir qu'entre les quantités F et les quantités y il y a correspondance :

i** Dans l'égalité ; ^ dans la somme.

1^ Par définition, si deux forces égales agissent simultanément sur un même point matériel, suivant la même droite et en sens contraire, elles lui communiquent une accélération totale égale à zéro, égale aussi, d*autre part, à la somme algébrique des accélérations qu'elles lui communiqueraient si chacune d'elles agissait seule, dans le sens qu'on lui a donné. Dans ces conditions, ces accélérations sont égales et de signe contraire. Si donc les deux forces agissaient séparément dans le même sens, les accélérations seraient égales et de même signe. C. Q. F. D.

2^ Si deux forces, F, F', agissent simultanément sur un même point, suivant la même droite et dans le même sens, son mouvement est, par définition, le même que si le point était soumis à la force F 4~ ^\ ^^^^ l<^s mêmes conditions de direction. Mais on peut supposer que ce point fait partie d'un système de points tous identiques au point donné, tous soumis à une force égale et parallèle à la force F, de sorte que ce mouvement soit un mouvement de translation, chaque point du système ayant un mouvement identique à celui que la force F communique au point donné. Par rapport à ce système, le point a un mouvement propre, savoir : celui qui est produit par la force F' ; en composant Taccéléralion de ce mouvement propre avec celle du mouvement d'entraînement, on trouve une accélération égale à la somme des accélérations des mouvements composants. G. Q. F. D.