MOMENT D UN COUPLE

de tourner sous l'action de la seconde force. Soit le point d'application [fig, 39) de la première force, supposons-le situé à Torigine des coordonnées, cherchons à exprimer la projection deraxeOGducouplesurTaxe 02^, en désignant par ûc,y^z les coordonnées du point A, par X, Y, Z les projections de la

Fig. 39.

force Q sur les trois axes rectangulaires Oo?, Oy, 0^. La projection de OG est égale au produit de Taire du parallélogramme OARQ (mesure de 00) par le cosinus de l'angle que fait l'axe du couple avec la partie positive de Taxe des z, ou par le cosinus de l'angle que fait le plan OAQ avec le plan des œy. C'est donc l'aire de la projection de ce parallélogramme sur le plan des xy. Cette projection est elle-même un parallélogramme ayant un sommet au point et dont deux sommets ont pour coordonnées, sur le plan œoy^ a?, y et X, Y. Cette surface est, au signe près :

yX — a?Y.

Mais, si y est nulle, x positive et Y négative, l'expression cidessus est positive, et Tangle GO^ est aigu. Elle représente alors la projection de OG en grandeur et en signe, et, par raison de continuité, elle représente toujours la projection de OG. On calculerait de môme les projections de OG sur Oa? et Oy, et Ton arriverait au résultat suivant : Le^ projections de Vaxe du couple sur les trois axes coordonnés sont égales aux moments de la force Q par rapport à ces axes^ savoir :

zX — yZ, xTa — z\, y^^xX,

5. Composition des couples. — Toéorème. — Deux couples agissant simultanément sur un même solide ont le

même effet qu*un couple unique y dont Vaxe est égnly en grandeur et en direction^ à la diagonale du parallélogramme construit sur les axes des deux couples.

En effet, supposons d*abord que les plans des deux couples se coupent suivant une droite xy {fig, 40), et remplaçons chacun d'eux par un couple de même moment, en supposant, ce qui est toujours possible, que les quatre forces qui composent ces^deux couples soient perpendiculaires à o^ et que les deux couples aient le même bras de levier ÂB. Les deux forces P,Q,

Fig. 40.