COMPOSITION DES COUPLES

appliquées au point A, ont une résultante R représentée par la diagonale du parallélograrameAPRQ, elles deux forces P',Q' ont une résultante R' appliquée en B, égale, parallèle et de sens contraire à R. L'ensemble des deux couples (P,P'), (Q, Q') a donc le même effet que le couple unique (R, R'), et nous observerons qu'on peut obtenir Taxe de ce couple en faisant tourner la droite AR de 90 degrés autour de ccy^ et en la multipliant par le nombre qui mesure AB. Dans cette position, ellecoïncide avec ladiagonaleduparalléiogrammeconstruitsur les deux droites obtenues en faisant tourner AP, AP' de 90 degrés autour de œy, et en les multipliant aussi par le nombre qui mesure AB. Or ces droites sontles axes des couples composants: le théorème est donc démontré.

Si les deux couples étaient dans dos plans parallèles, on pourrait supposer leurs bras de levier parallèles et ayant une même longueur /. Les quatre forces des deux couples seraient alors parallèles, et, si Ton désignait par Aie point d'application de la résultante des deux forces de même sens P, P' appartenant aux deux couples, par B le point d'application de la résultante des deux autres forces Q, Q', on verrait que la droite AB est égale et parallèle aux bras de levier des deux couples composants. Ces deux couples pourront donc être remplacés par un couple unique, situé dans un plan parallèle à leurs plans, et ayant un moment égal l? -\- 1^\ c'est-à-dire à la somme des moments des deux couples. Son axe est donc la somme géométrique des axes des deux couples. C. Q. F. D.

Il s'ensuit qu'un système de couples agissant sur divers points d'un solide peut être remplacé par un couple unique, dont l'axe est la résultante de la ligne brisée ayant ses côtés égaux et parallèles aux axes des couples composants. En

particulier, si chaque couple a une de ses forces appliquée au point 0, origine des coordonnées, et si leurs projections sur Oa?, Oy, 0^ sont respectivement X| , Y^, Z^, Xj, Yj, Zj...; si d*autrc parties points d'application des autres forces onl pour coordonnées a?^, y^i^^,oo2, y^, ^2--' '^^ projections de Taxe du couple résultant sur les trois axes de coordonnées seront:

S {ziYi — œtZt), S [XiZi -- ZiXi), S (y,X, - x,Y,).

6. Réduction générale des forces appliquées à un solide. — Théorème. — Un solide étant soumis à un système quelconque de forces, f effet produit par ce système est identique à Veffet dû à faction simultanée dtun certain couple^ et dune force représentée par la résultante de la ligne brisée ayant ses côtés égaux et parallèles aux droites représentatives des forces du sys'ème. Cette force peut d'ailleurs être appliquée en tel point du solide //p' qu'on voudra^ et taxe du y couple dépend du choix de

y ce point,

y En effet soient F une des

^ forces du système, A son

>4 •' ^ *" point d'application [fig, 41),

Fig. 41. un point du solide, choisi

à volonté. En ce point appliquons deux forces égales et directement opposées, Tune d'elles, F*', étant égale, parallèle et de sens contraire à F. Soit F' Tautre force.

Les deux forces F, F*' forment un couple; et, si Ton opère de même pour toutes les autres forces, chacune d'elles don-* nera lieu à un couple analogue. On sera donc conduit à com-