AUTRE MODE DE RÉDUCTION

force R\ par Q le plan qui passe par le point et la direc* tiondela force R^ ; ces deux plans se couperont suivant une droite Oœ [fig. 42). Soit B un point de celte droite. Décomposons la force R' en deux autres S, T, dirigées suivant les deux droites BM, OM. Celte décomposition est possible, puisque les trois droites MR', OM, BM sont dirigées dans le même plan.

Fig. 42.

Remplaçons ensuite S et T par des forces S',T', qui leur soient égales et soient appliquées aux points 0, B. Opérons la même transformation sur la force R'^ nous aurons, finalement, remplacé le système des forces données par un système de deux forces appliquées en 0, B.

Remarque. — Soient U, V ces deux forces. La somme de leurs projections sur un axe quelconque, étant égale à la somme des projections des forces R, R',',R'', est égale à la somme dcs'projections des forces du système, et il en est de même quant à leurs moments.

iiOO CONDITIONS d'ÉQUILIBRE D UN SOLIDE INVABIABLK

S. Soit maintenant un solide soumis à un système quelconque de forces, variables ou non d'un instant k Tautre. Remplaçons-les par deux forces dont Tune soit sans cesse appliquée à Torigine des coordonnées. Si le solide est en équilibre, le moment de l'autre force Q, par rapport à un axe quelconque issu du point 0, sera égal, comme au § i, à la dérivée, par rapport au temps, de la somme des moments des quantités de mouvement des points du système, et cette somme est identiquement nulle. Donc : Pour que le solide soit en équilibre, il faut que la somme des moments de toutes les forces du système par rapport à un axe quelconque issu du point soit nulle. Il doit en être ainsi, notamment, pour trois axes rectangulaires issus du point 0, et Ton en conclut que les équations (3) du § i expriment des conditions nécessaires pour l'équilibre du solide.

Mais ces conditions ne sont pas suffisantes. En effet, dire que la force Q a un moment nul par rapport à toute droite issue du point 0, c'est dire que sa direction passe au point 0, et que, par conséquent, le système est remplacé par un système de deux forces concourantes. Mais celles-ci ne peuvent se faire équilibre que si elles sont égales et directement opposées, sans quoi on pourrait toujours les remplacer par une force unique, et le système ne serait pas en équilibre. Donc il faut que la somme de leurs projections sur toute droite de l'espace soit nulle, et notamment que la somme de leurs projections sur Oa?, Oy, Oz soit nulle. Mais chacune de ces sommes est égale à la somme des projections des forces du système donné, sur le même axe, et l'on trouve ainsi les conditions (2) comme conditions nécessaires pour l'équilibre du solide.

AUTRE MODR DE RÉDUCTfON 201

Je dis que ces six conditions Ront suffisantes pour Téquilibre.

En effet les équations (2)

SX = 0, SY = G, SZ = 0,

montrent, comme au chapitre i, §3 (2* partie), que, si l'on mène par un point de l'espace une droite égale et parallèle à celle qui représente Tune des deux forces auxquelles nous avons réduit le système, puis, par Textrémité de cette droite, une seconde droite égale et parallèle à celle qui représente Tautre force, on revient au point de départ. Donc : ou bien les deux forces sont égales et directement opposées, et il y a équililibre ; ou bien elles sont égales, parallèles et de sens conraire. Je dis que cette condition est incompatible avec les équations (3), savoir :

S {zY — yZ) = 0, S (xZ — ^X) = o, S (yX — a?Y) = o.

En effet l'une des deux forces auxquelles nous avons réduit le système, passant par le point 0, l'autre doit avoir un moment nul par rapport à chacun des trois axes. Elle doit donc les rencontrer tous trois, et, par conséquent, passer par le point 0. Donc les deux forces sont bien égales et directement opposées.

4. La théorie actuelle permet encore de trouver la condition analytique nécessaire et suffisante pour que les forces du système donné aient une résultante. Soienl en effet P, Q les deux forces auxquelles nous avons réduit le système, en supposant la force P appliquée au point 0, R la résultante,

202 CONDITIONS d'équilibre D*DN SOUDE INVARIABLE

R' une force qui lui soit égaie et directement opposée: les trois forces P, Q, R' se font équilibre, et par conséquent la somme de leurs moments par rapport à toute droite de Tespace est nulle. Ceci est vrai, notamment, s'il 8*agi d*une droite 0^ menée par le point 0, parallèlement à R.

Par rapport à cette droite, la somme des moments de P Q est nulle, puisque le moment de R est nul ; et il en est de même de la somme des moments de toutes les forces du système. Je dis que cette droite a pour paramètres directeurs les quantités désignées antérieurement par SX, SY, SZ. Gela sera démontré si nous établissons que les deux forces P, Q sont dans un même plan : car alors cites auront une résultante, qui ne pourra pas différer de R, et, d'autre part les sommes de projections de P, Q sur les trois axes sont SX, SY, SZ. Or, par rapport à toute droite qui rencontre P et R', le moment de Q devra être nul, puisque la somme des moments des trois forces P, Q, R' devra être nulle. Donc, toute droite rencontrant P et R' devra rencontrer Q, et cela ne peut avoir lieu que si P, Q sont dans le même plan.

Gela posé, soient X/, Y/, Z/, les projections d'une de forces du système sur les trois axes, n?/, ^/, zi les coordonnées de son point d'application. Le moment de cette force par rapport à la droite Ot est égal à Taire de la projection, sur un plan perpendiculaire à 0^ du parallélogramme dont un côté est égal, en grandeur et en direction, à la droite représentative de la force, Tautre côté joignant le point au point a?/, j//, ^/. Gherchons donc à évaluer : 1® Taire de ce parallélogramme; 2'' le cosinus de Tangle que fait son plan avec un plan perpendiculaire à 0^

i** On sait que led aires des projections de ce parallélo-