SYSTÈMES AYANT UNE RÉSULTANTE S

graœine sur les troÎH plans de coordonnées sont égales à

Soient L/, M/, N/ ces trois aires, 3 Taire du parallélogramme, a, p, Y les angles que fait son plan avec les trois plans coordonnés. On aura :

L/ = S cos a, M/ = S cos p, N/ = S cos y,

et, par conséquent,

s = Vlî + mî + nî,

2° De ce qui précède, on déduit:

cos a =-::

cosp

cos y =

\/LÎ + MÎ + N?

Vm + mî + nî'

D*ailieurs, la droite 0^ fait avec Oa?, Oy, 0^ des angles dont les cosinus sont :

SX

V( SX)^ + (SY)^ + (SZ)»

LY

\/(SX)» + (SY)^ -h (SZ)>'

sz

V{SX)2+(SY)»-f-(£Z)>'

et le moment cherché est égal à :

VlSX)» + (2Y)» + (£Z)» Vl? -t- M? + N?

204 CONDITIONS d'ÉQUILIBRK d'uN SOLIDE INVARIABLE

OU bien :

L/^X + MfSY + N/SZ

V(SX)^ + (SY)'» + (SZ)«

La condition nécessaire cherchée est donc :

SL/.SX 4- SM/.SY + SN/.SZ = o.

Condition identique, aux notations près, à celle que nous avons déjà trouvée par la théorie des couples.

Cette condition est, d'ailleurs, suffisante. Car, si elle est remplie, la droite représentative de la force Q rencontre en un certain point la droite qui joint Torîgine au point SX, £Y,. SZ, et le plan, mené par P et par cette droite, a un point commun avec la droite Q. D'ailleurs, si Ion mène du point une parallèle à Q, elle est contenue dans ce plan, car, en vertu d'une remarque faite au paragraphe 2, les sommes des projections de P et de Qsur les axes de coordonnées sont SX, £Y, £Z. Donc la droite représentative de la force Q est située tout entière dans un plan contenant la droite représentative de P, et Ton pourra toujours composer ces deux forces en une seule, pourvu, bien entendu, que SL/, 2M/, SN/ ne soient pas nuls à la fois.

5. Nous avons vu que, dans le cas le plus général, les équations qui expriment les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un solide libre soit en équilibre sont au nombre de six. Dans certains cas particuliers il arrive ou bien que le nombre de conditions nécessaires est diminué, ou bien que les équations ont une interprétation géométrique simple. Par exemple, s'il s'agit d'un système de deux forces, le raisonnement fait au début du paragraphe 3 nous a montré qu'elles

CAS PARTIGUUERS S()5

ne peuvent être en équilibre que si elles sont égales et directement opposées. C'est la réciproque du postulatum d après lequel deux forces égales et directement opposées, appliquées en deux points d'un solide, se font équilibre.

Si les forces agissant sur le solide sont au nombre de trois, les équations des moments exigent, pour qu'il y ait équilibre, que les trois forces soient dans le même plan. Car on peut, d'une inOnité de manières, choisir Tun des axes des coordonnées de manière qu'il rencontre deux des forces données. Les moments de ces deux forces par rapport à cet axe étant nuls, le moment de la troisième doit être nul aussi ; en d'autres termes, toute droite qui rencontre deux des forces données doit rencontrer la troisième : donc elles sont dans un même plan. Mais alors on pourra toujours composer deux d'entre elles, et ramener ainsi le problème au cas d'un sysième de deux forces. Pour l'équilibre, il faut que ces deux forces soient égales et directement opposées. Donc : Pour que trois forces, agissant sur un solide, soient en équilibre, il faut et il suffit : !•* qu'elles soient dans le même plan ; 2* que tune q^iel^ conque d entre elles soit égale et directement opposée à la résultante des deux autres.

Ajoutons que, si quatre forces sont en équilibre sur un même solide, elles agissent suivant quatre droites situées sur un même hyperboloïde. Car toute droite qui rencontre trois d'entre elles doit rencontrer la quatrième.

6. Voici maintenant des exemples où se réduit le nombre des conditions nécessaires pour l'équilibre. Si toutes les forces sont dans un même plan, trois conditions seulement sont nécessaires. Car, si Ton prend ce plan pour plan des xy^ les

206 CONDITIONS d'équilibre d'uN SOLIDE INVARIABLE

sommes des projections de toutes les forces du système sur l'axe 0^ est nulle, alors même qu*il n'y a pas équilibre. Il en estde même des sommes de moments par rapport à Ox, Oy, et, comme les moments par rapport à Oz sont aussi les moments par rapport au point 0, on peut énoncer le théorème suivant : Pour qu'un système de forces^ situées dans un même plan, soit en équilibre^ il faut et il suffit : i^ que fa somme des projections de ces forces sur deux axes rectangulaires Oa?, Oy tracés dans ce plan soit nulle ; 2° que la somttie de leurs moments par rapport au point soit nulle.

Si toutes les forces sont parallèles, le nombre des conditions nécessaires se réduit encore à trois. Car on peut prendre Taxe des z parallèle à leur direction. Alors la somme des moments par rapport à Oz est nulle, lors même qu'il n'y a pas équilibre; et les équations des projections concernant Oœ, Oy sont aussi vériOées identiquement. Donc : Pour quun système de forces parallèles soit en équilibre, il faut et il suffit: 1® que la somme des projections sur un axe parallèle à leur direction soit nulle; 2® que la somme de leurs moments par rapport à deux axes rectangulaires^ ùsus du même point et perpendiculaires à leur direction, soit nulle,

1. Applications. — A. Soit un triangle ABC, et soient F|, F), F, trois forces situées dans son plan, appliquées aux milieux de ses côtés, perpendiculairement à leurs directions, proportionnelles à leurs longueurs et dirigées toutes les trois vers l'intérieur, ou toutes les trois vers l'extérieur du triangle. Je dis que ces trois forces se font équilibre. En effet, on constate tout d*ubord que ces trois forces sont concourantes, et que, par conséquent, la somme de leurs moments par rapport