APPLICATIONS

a, b, c, G? les aires des faces opposées aux sommets A, B, G, D. Aux centres de gravité G^, Gg, G3, G^ de ces faces, appliquons des forces perpendiculaires à leurs plans, dirigées vers l'extérieur du tétraèdre, et égales à Ka, Kc, K6, Kd; je dis que ces forces se feront équilibre. En effet, décomposons les forces Pj, F3, P^, chacune en deux forces telles que R^, et S3, la première, normale au plan de la face BCD, la deuxième, parallèle au plan de cette face. Je dis que les forces Rj, R3, R4 feront équilibre à la force P^ qui leur est parallèle ; en effet, si Ton donne le signe + à celles d'entre elles qui ont la direction opposée à la direction deF|, et si Ton considère F4 comme négative; si, de plus, on appelle p, Yî ? les angles plans des dièdres CD, BD, BG, ces forces sont égales, en grandeur et en signe, à Kb cos p, Kc cos y, Kd cos S, et leur somme est égale, en grandeur et en signe aussi, à

K {b cos p -j- c cos Y + c? cos 8),

ou bien à K surf ABG, ou encore à — F^. Donc, déjà, la somme algébrique de ces forces, ou somme de leurs projections sur un axe parallèle à, leur direction, est nulle. Soient

maintenant â?^» ^2» ^s» Vz* ^4» !/a ^^^ coordonnées, par rapport à deux axes rectangulaires issus de G^, et tracés dans le plan BCD, des projections de Gj, G3, G4, sur le plan BCD. Ces projections sont les centres de gravité des triangles qui ont pour sommet commun la projection a de A sur le plan BCD, et leurs intensités sont égales à K surf aCD, K surf aBD, K surf aBC, en grandeur et en signe. Leurs moments par rapport à Taxe G^œ sont donc égaux aux moments, par rapport au plan GF^a?, d'un système de forces parallèles, dont la résultante est appliquée en G^. La somme de ces moments

MÉGAMIQUB. 14

!210 CONDITIONS D'ÉQUILIBRE D'uN SOLIDE INVARIABLE

est donc nulle, et il en est de môme des moments par rapport à Taxe G^y. Donc les quatre forces parallèles considérées se font équilibre. Quant aux trois composantes S^, Sj, S4, elles sont dans le plan de la section bcd^ faite sur la surface de la pyramide par le plan G^, Gj, G3. Leurs points d'application sont les milieux des côtés du triangle bcd; elles sont perpendiculaires à ces côtés, et j'aurai démontré qu'elles se font équilibre, si je fais voir qu'elles sont proportionnelles à ces côtés. Or leurs intensités sont Kb sin p, Ke sin Yi Ke/ sin 8. Mais, si l'on appelle h la hauteur de la pyramide, on a:

c = — BD, -: — = - h, —. — >

2 * sin Y 4 ' sin Y

ôû? = - • — • c sin Yî o à

et, de même :

6c = ;r • 7 • a sin 8

ce? = 5 • T • 6 sin B.

Donc les trois composantes S,, S3, S4 sont proportionnelles aux côtés correspondants du triangle bcd.

. Ë. Le même mode de démonstration s'applique à un système de forces appliquées aux centres de gravité des faces d'une pyramide à base quelconque, proportionnelles aux aires de ces faces, perpendiculaires à leurs plans et toutes dirigées vers l'extérieur de la pyramide. Puis on passerait de là à un système de forces appliquées aux centres de gravité d'un polyèdre convexe, perpendiculaires à leurs plans, etc., — puis, enûn, au cas d'une surface limitée par un contour

APPLICATIONS â!l

fermé convexe. Nous terminerons en démontrant que, dans le cas d'un polyèdre convexe quelconque, Tensemble des forces conî^idérées peut élre remplacé par trois syptèmes de forces parallèles, tous les trois en équilibre.

Le contour apparent du polyèdre sur le plan de ocy divise, en effet, sa surface en deux parties qui se distinguent Tune de l'autre par les propriétés suivantes. D*un point pris sur l'une des faces qui appartiennent à l'une des deux parties, menons une demi-droite perpendiculaire au plan de cette face, dirigée vers l'extérieur du polyèdre, et supposons qu'elle fasse un angle aigu avec la partie positive de l'axe des z. La demi-droite analogue, relative à une face appartenant à l'autre partie, fera, avec la partie positive de Taxe des z, un angle obtus ; et la somme des projections des faces de Tune quelconque des deux parties sur le plan de ocy sera numériquement égale à Taire de la projection du contour apparent. Si donc nous appelons projection d'une face le produit de son aire par le cosinus de l'angle que fait, avec la direction positive des Zy la demi-droite perpendiculaire au plan de cette face, et dirigée, à partir du point où elle coupe ce plan, vers l'extérieur du polyèdre, la somme algébrique de ces projections sera nulle. Mais, au facteur K près (K a la même signification que dans les applications précédentes), cette somme de projections sera égale à la somme des projections des forces considérées sur l'axe des z. Donc, déjà, cette somme de projections sera nulle. D'autre part, la résultante des forces perpendiculaires aux faces constituant une des deux parties dont nous avons déjà parlé passe par le centre de gravité de la projection du contour apparent sur le plan des ooy, et, si Ton appelle S Taire comprise à l'intérieur de

S12 CONDITIONS d'équilibre d'uN SOLIDE INVARIABLE

celte projection, cette résultante est égale à KS, au signe près. Car les composantes passent par les centres de gravité des projections des faces sur le plan des xy et sont respectivement égales aux produits des aires de ces projections par K. Les forces perpendiculaires au plan des œy^ corres- ]

pondant aux faces qui composent Tautre partie, ont une ^

résultante égale et directement opposée; donc, les composantes, parallèles à Oz^ des forces du système donné, se font équilibre. Il en est de même des composantes parallèles à Oo?, et des composantes parallèles à Oy, Donc enfin le système des forces données est en équilibre.

NOTE

Des intégrales multiples. — Applioation à rattraotion d*nxie sphère homogène sur un point matériel. — Applioation à la reoherohe des centres de gravité.

1. Les sujets qui vont être traités dans cette note ne sont pas explicitement exigés des candidats à TÉcole polytechnique. Cependant la définition et les propriétés fondamentales des intégrales doubles et des intégrales triples, Tapplication que nous en ferons à la théorie de l'attraction les aideront singulièrement à acquérir des idées nettes sur la détermination des centres de gravité des volumes, des lignes et des surfaces, formellement exigés par le programme.

Soit G un contour fermé [fig, 45), et soit / (a?, y) une fonction finie et continue ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre lorsque le point œ^ y se déplace d'une manière continue dans une portion du plan contenant le contour G. Divisons cette portion du plan en compartiments aussi petits que nous voudrons, en traçant, par exemple, une première série de courhes définies par une équation de la forme (p (a?, y, u) = o, où w désigne un paramètre arbitraire ; puis une deuxième série représentée par une équation telle que ^ (Xf yy v) = 0, où V désigne un autre paramètre arbitraire.

âli

Dans Texpression f[x, y) imaginons que a?, y soîenl les coordonnées d*un point intérieur à l'un des compartiments ou situé sur son contour, et multiplions /* (a?, y) par Taire <r de

Fig. 45.

ce compartiment. Puis, ayant choisi un point a?, y, à Tintérieur de tout autre compartiment, faisons la somme des produits relatifs à tous les compartiments intérieurs à la courbe C. Je dis que, quand le nombre des compartiments croîtra au-

ATTRACTION d'uNE SPHÈRE HOMOGÈNE

delà de toute limite, la somme des produits ainsi obtenue tendra

vers une limite finie. En effet, considérons d'abord, parmi les

cases ainsi formées, celles qui contiennent un arcde la courbe

G (ombrées sur la figure) ; et observons qu'on peut supposer les courbes du réseau assez rapprochées pour qu'elles soient toutes

intérieures à la couronne comprise entre deux contours G', G", l'un intérieur, l'autre extérieur au contour G, mais aussi rapprochés de G qu'on le voudra. Soit M la plus grande valeur numérique que prenne la Fonction f (a;, y\ dans toute la région du plan considérée, s l'aire de la couronne. 11 est bien clair que la somme des produits relatifs à ces cases est numériquement inférieure à M*, et tend vers zéro quand le réseau formé par les deux familles de courbes est de plus en plus resserré. Considérons donc la somme des pro« duits relatifs aux compartiments complètement intérieurs. Soient m le minimum, u le maximum de la valeur numérique de f [x, y) à l'intérieur d'une des cases, <y sa surface. Supposons d'abord que f (a?, y) conserve le même signe en tous les points intérieurs au contour.

Le produit correspondant est compris entre w<i et {id, et quand le nombre des compartiments croit au-delà de toute limite, la somme Swd ne peut aller qu'en croissant

(cette somme s'élend, bien entendu, à tous les compartiments intérieurs à G). En effet, après avoir formé une première série de compartiments, dont l'un est ABGD ifig, 46), formons une nouvelle série de compartiments plus rapprochés, et supposons que le nouveau réseau partage ABGD en quatre parties, kkfe^

Flg. 46.

kBgf^efhC^fgDhy le contour ABCD faisant aussi partie du nouveau réseau. A chacune d'elles correspond une nouvelle valeur de w, égale ou supérieure à celle qui répond au quadrilatère total ABCD, et la somme de leurs produits par Taire correspondante est égale ou supérieure à ma. Alors les quantités telles que S»w<ï vont former une suite indéfinie, croissante, mais toujours inférieure au produit de M (maximum de / (â?, y) dans toute la région) par Taire d'un polygone quelconque comprenant le contour G. Il s'ensuit qu'elles tendent vers une certaine limite. Les quantités I](jl<t tendent vers la môme limite. Car le rapport

est toujours compris entre le plus grand et le plus petit des

rapports —9 lesquels ont pour limite 1 ; et, comme la somme

S/ (a?, y) (jest toujours comprise entre ces deux sommes, elle tend aussi vers cette limite.

Remarque. — Cette démonstration fait voir que la limite est la même quel que soit le point a?, y pris à l'intérieur du compartiment ABCD ou sur son contour.

Si la fonction f (a?, y) changeait de signe à Tîntérieur du contour C, on diviserait Taire qu'il comprend en plusieurs aires partielles à l'intérieur desquelles la fonction conserverait toujours le même signe, et Ton prendrait, pour limite de la somme des produits considérés, la somme des limites afférentes aux divers contours partiels.

2. Je dis encore que la limite dont je viens de montrer Texistence est toujours la même quel que soit le mode de décomposition du plan en compartiments infiniment petits.

ATTRACTION d'uNE SPHÈRE HOMOGÈNE 217

En effet, considérons un des réseaux formés d'après une première loi et supposons que la plus grande différence qu'il y ait entre les abscisses de deux points de son contour soit inférieure à - ; la plus grande différence qu'il y ait entre les

k ordonnées soit inférieure à -• Traçons, d'après la deuxième

loi, un second réseau donnant le même nombre de quadrilatères, supposons que laplusgrande différence des abscisses de

deux points de son contour soit inférieure à — » la plus grande

différence des ordonnées inférieure à r-i et nommons désor-

mais a la plus grande des deux longueurs^, JC p la plus grande des deux longueurs ^, h'. Les quadrilatères se correspondront dételle sorleque si Ton nomme o?, y les cordonnées d'un point intérieur à Tun des quadrilatères obtenus d'après la première loi ; œ\ y' les coordonnées d'un point obtenu d'après la seconde loi, x — a?' et y — y seront inférieurs, numériquement, à X et p. Donc la différence :

pourra se mettre sous la forme :

r[x+ Sa, 3/ H- ô'p) d' - / (a?, y) (f

0, 6' étant compris entre — i et -j- ^ • 0" P^"^ encore écrire cette différence comme il suit

/ (^, y) {^' -^) + ^' [0<i (X, y) -f- ev; {^. y) + e]

8 étant infiniment petit avec a et p. Soit t^ la plus grande des valeurs numériques des facteurs

La somme de toutes les différences analogues à (i) sera numériquement inférieure à

M (Sd' — Sd) + TjSff'.

Mais Sff' et 23<j ont une même limite, savoir: Taire intérieure au contour G (^). C'est la limite commune à S<y et à S<j', qu'on appellera Taire intérieure au contour C. Donc l'expression (2) a pour limite zéro; a fortiori, la différence entre les deux sommes de produits relatifs à tous les quadrilatères des deux réseaux.