Théoriquement, la manière la plus simple de partager

le plan en quadrilatères infiniment petits consiste à tracer des parallèles à Taxe Oa?, et des parallèles à Taxe Oy. Soient AB, CD deux parallèles à Ox [fig. 47), Ay leur distance, a?< , œ^,x<^,,,œn les abscisses des sommets, situés sur AB, des

quadrilatères du réseau correspondant, et soient 1, 2, 3, 4 ...

ces sommets ; ces quadrilatères donneront, pour la somme à

Fig. 47.

(<) Pour répondre à robjection que soulàve cette affirmation, on peut dire: L'expression £9 va sans cesse en croissant, mais reste sans cesse inférieure à l'aire d'un polygone circonscrit au contour G : donc elle tend vers une limite L. De mÔme, Texpression £9' tend vers une limite L', et ces deux limites sont égales, parce qu'on peut supposer les deux réseaux assez resserrés pour contenir Tun et l'autre un même polygone intérieur au contour, homolhétique du polygone circonscrit par rapport à un point intérieur au contour, le rapport d'homothétie étant aussi voisin de 1 qu^on le voudra. Alors le rapport de l'aire de ce polygone à Taire du polygone circonscrit tendant vers 1, leur diUéreace tend vers zéro, et il eu est de môme, a /()r* ltort,de la diCTérence Zv — £?'.

ATTRACTION d'uNE SPHÈRE HOMOGÈNE 219

évaluer, des termes égaux à

et ainsi de suite. Lorsque œ^ — ^\^ ooz — ^2 ••• tendront vers zéro, la somme de ces termes tendra vers une limite, savoir :

^yff O^» y) ^

les- limites inférieure et supérieure de cette intégrale étant les limites vers lesquelles tendent x^ et a?„, savoir les abscisses x et xf des points A et B. Soient donc x' et x" les valeurs de x qui correspondent à une même valeur de y, en supposant que chaque parallèle à l'axe des x rencontre le contour en deux points seulement. Soient aussi y^ et^j les valeurs minimum et maximum de y sur le contour. La somme à évaluer aura pour limite

fyl r{^y y]dx\

Vl J X'

et, si chaque parallèle à Taxe des x^ ou si chaque parallèle à Taxe des y rencontre le contour en plus de deux points, la limite dont il s*agit se décomposera en une somme de termes de cette forme. On la désigne par la notation

J*Jf [x, y) dx dy.

C'est une intégrale double, étendue à toute Taire intérieure au contour G.

4. Il y a lieu de prendre toute une série de précautions analogues pour définir une intégrale triple étendue à Tintérieur d'une surface fermée G. On démontrera d'abord que, si

fiO NOTE DBS 1NTÉ6RALKS MULTIPLES

Ton divise le volume du solide compris sous cette surface en un certain nombre de compartiments aussi petits qu'on voudra, qu'on multiplie le volume de chaque compartiment par la valeur que prend une fonction donnée /(a?, y, -y) en un point intérieur à chaque compartiment ou situé sur sa surface; si d'autre part la fonction /(a?, y, z) reste finie et continue en tous les points d'une région contenant la surface donnée, la somme des produits obtenus tend vers une limite, quand le nombre des compartiments est de plus en plus grand, et que cette limite est la même: lequel que soit le point a?, y,^, pris dans chaque cellule ; 2^ quel que soit le mode de formation de ces cellules.

On peut évaluer cette limite en calculant l'intégrale double

fff (a?, y, >8') dœdy

étendue à tous les points de la section faite sur la surface du solide par un plan parallèle au plan des œy, puis en multipliant cette intégrale par dz^ et cherchant, par rapport à Zj l'intégrale ainsi définie, pourvu qu'on donne pour limites à z les ordonnées z du point le plus haut et du point le plus bas de la surface. La limite ainsi définie est désignée par

ffff (^» y» ^) closdi/dz.

On la nomme une intégrale triple étendue à tout le volume considéré, et Ton doit, dans chaque cas, préciser avec soin les limites de chacune des intégrations à effectuer.

5. Dans tous les développements qui précèdent, concernant les intégrales doubles, les variables a?, y jouent exacte-

ATTRACTION d'uNË SPHÈRE HOMOGÈNE 22t

ment le même rôle, et Ton peut, sans changer le résultat, intervertir Tordre des deux intégrations, pourvu qu'à chacune des intégrales simples que Ton calculera successivement, on assigne des limites convenables. De même, dans le calcul d'une intégrale triple, on peut, sous les mêmes condilions, intervertir Tordre des variables par rapport auxquelles on effectue les intégrations.