Soit maintenant

=fff{^^y)dxdy

une intégrale double, étendue à un contour quelconque. Supposons qu'au lieu de diviser Taire intérieure à ce contour en rectangles dont les côtés soient parallèles à Oo? et à Oy oïl la divise en quadrilatères infiniment petits, par deux séries de courbes définies par les équations

une première famille de courbes étant représentée par Téquation qui résulte de Télimination de u entre ces deux équations, de telle sorte que chaque valeur attribuée à v donne une courbe de cette famille ; l'autre famille, au contraire, ayant une équation obtenue par Télimination de v. Proposonsnous d'exprimer Tintégrale I au moyep des variables u, v. A cet effet, cherchons d'abord ce que devient Tintégrale lorsque, conservant la variable y, on remplace la variable a? par la variable u. Si Ton calcule d'abord Tintégrale simple

fr (^, y)

â^ NOTE DES INTÉGRALES MULTIPLE^

en y regardant y comme une constante, on est conduit à y remplacer œ par (p (u, v)y ^i dx par la valeur que prend la différentielle de celte fonction lorsqu'on y considère v comme une fonction de u, définie par Téquation

où y désigne une constante. Alors dx^ du^ dv remplissent les conditions suivantes :

dx -=■ r-*- du -A- ^ dv

O = r^ c?u + > (iv.

du * ov

D'où :

du dv dv du , dx = r-; du

dt?

L'intégrale simple devient

fr (?, y)

"du dt? dt? du

dt?

cfu

et rintégrale double

ou bien

dcp dd; dop d<J/

/, Z*^ / X du dl? dt? du ,

dm dJ/ d© dd/ /•/*./ V du dv dv du , ,

JJ t (t. .v) ; â^ du dy

ATTRACTION d'UNë SPHÈRE HOMOGÈNE 223

pourvu qu*cn y considère y comme lié h u, v par la relation (2).

Mais, si Ton veuf, y remplacer la variable y par la variable t?, il faut, dans Téquation (2), regarder u comme une constante,

et remplacer y par r^ dv. On trouve alors

et Ton doit, bien entendu, faire varier u, v dans les limites qui donnent, successivement, tous les points intérieurs au contour C.

7. Si l'on veut opérer une substitution analogue sur Tintégrale triple

I =JJjf (^» y» A dxdydz

étendue à une portion donnée de Tespace, et cela au moyen des formules

on opérera d'abord la substitution sur l'intégrale double

jjf (a?, y, z] dœ dy,

où Ton regardera z comme une constante. Remplaçant les variables a;, y par les variables u, i?, on trouvera

NOTE DES INTÉGRAJiSS MULTIPLES

On passera alors à l'intégrale triple

OÙ Ton remplacera z par ^ (w,v, w) et dz par la diflerentielle de celte fonction, calculée en regardant u, v comme des fonctions de w définies par les équations

où a?, y sont des constantes. Alors dz devra être calculé par Félimination de du, dv entre les relations suivantes

O z=z :^ du A-zr*- dv 4- r;^ dlO

ou * ov * dw

O = r^ rfw + r^ C?V + xr^ du) OU OV dW

dz =

Hu ^ bu

Soit êk le déterminant fonctionnel

^9 bw

bto

on trouvera :

àdw

aar — r—

by ^4* bu bv

puis, par substitution

=fff^ (?i X» +)• -^^" ^«^ û^«^

ATTRACTION d'uNE SPHÈRE HOMOGÈNE 225

l*intégration s'élendani à toutes les valeurs de w, v, to^ qui donneut tous les points du solide.

8. Application. — Supposons qu'on veuille passer des coordonnées cartésiennes œ, y, z aux coordonnées polaires p,(p, 0, ayant avec les premièrRs les relations

û3 = p cos (p sin 9 y = p sin <p sin ^ = p cos 0,

on aura

cos (p sin — psintpsinG p cos 9 cos 9

sin (p sin pcos(psinO p sin 9 cos

cos B o — p sin

= — p*sinô

= — / / / /"(p cos (p sin ô, p sin tp sin 0, p cos 0) p* sin dpdBd<f.

Cette intégrale triple se réduit immédiatement à une intégrale double dans le cas où / ne dépend que de z et de la dislance du poinl co^ y, z k Taxe des z. En effet, la fonction / est alors de la forme

F {Vx^ + y^ z) et Tintêgrale proposée se réduit à

— fff^ (p sin 0, p 003 0} p* sin 6 dO c/p c?^,

Tinlegrale par rapporl à (p devant ôlre calculée entre des

2^6 NOTE DES INTÉGRÂtËS MULTIPLES

limites connues, soient <pi et f^. On trouve alors

{<Po — ?J / / ^ (p s^° ®> P c^s ®) P^ sin Ôû?Orfp.

Supposons, par exemple

m désignant une constante ; supposons en outre que le solide dont il s*agit soil une sphère ayant son centre à l'origine et dont le rayon est R. On suppose, d'ailleurs, c > R. Ici les variables p, 6, ^ ont pour limites, respectivement, o et R, o et ir, o et aie. C'est ce qu'on exprime en écrivant Tintégrale sous la forme

%J qU «/

= p^ ûïi^dod^dfù.

V^p» — 2cp cos + c* '^ ^

D'ailleurs on la transforme immédiatement en une intégrale doublé, savoir :

cos -j- c*

On peut encore exprimer cette intégrale en termes finis, En effet, écrivons-la comme il suit :

^j. ^''VJ. V^P' + c»-2cpcose^' et observons que

cp sin QdB

V/p2 + c^ — 2cp cos

= [Vp' + c» — îcp cos ôjî = 2p.

ATTRACTION d'uNE SPHÈRE HOMOGÈNE 227

Nous en concluons que Tintégrale proposée est égale à

Nous verrous quelle est Timporlance de ce résultat dans une question relative à Fattraction.

9. Proposons-nous le problème suivant : Un point matériel, de masse {a, extérieur à un solide donné, subissant de la part de chaque point de ce solide une action proportionnelle à sa masse, et inversement proportionnelle au carré de la distance, quelle sera la résultante de ces actions?

Soient m la masse d'un point du solide; Ç, iq, Ç, ses coordonnées, âj, y, z les coordonnées du point attiré, par rapport à trois axes rectangulaires, Oœ, Oy, Oœ; /'raclion de Tunité de masse sur Tunité de masse, à Tunilé de distance. L'attraction exercée sur ce point est décomposable en trois forces, parallèles aux axes Oo?, Oy, 0^, égales respectivement à :

fV- \'^y

[(5 - xY -h (71 - y)^ + (ï - zYf

car ce sont bien là les projections sur Ox, Oy, Oz d'une force égale à

dirigée du point a?, y, z vers le point $, tj, $. Mais ce sont

2â'S NOTE DES INTÉGRALES M0LTIPLE8

au?si les dérivées par rapport hx^y.z de l'expression suivante :

f\ijm

et la somme des valeurs que prend Tune d'elles, la première par exemple, quand on donne à m et à $, 7|, C toutes les valeurs possibles, est la dérivée par rapport à x, de l'expression

11 en est de même des deux autres, en ce qui concerne y et z. Inversement, si c'est le point matériel qui attire les divers points du solide suivant la loi indiquée, les actions exercées sur ces points seront des forces, concourant au point attirant. En supposant qu'il y ait, en ce point, un point matériel faisant corps avec le solide, on pourra remplacer chacune de ces forces par une force de même grandeur, de même direction et de même sens, appliquée en ce point, puis composer toutes ces forces en une seule. On trouvera une résultante appliquée en ce point, pouvant, d'ailleurs, être remplacée par une autre force qui lui soit égale et appliquée en tout autre point de sa ligne d'action, les projections de cette force sur Oa?, Oy, 0^ étant égales et de signe contraire aux dérivées partielles de la fonction (3) par rapport à x^ y, z, La somme qui figure dans cette expression s'appelle le potentiel du corps au point attiré. On conçoit que le calcul de cette fonction dépende de la forme du corps et du mode de répartition de la matière à l'intérieur du corps. Pour appliquer ces notions à un cas simple, définissons d'abord la densité d'un corps en chacun de ses points.

ATTRACTION d'uNE SPHÈRE HOMOGÈNE 229

10. Si l'on divi?e le corps en un nombre de fragments aussi grand qu'on voudra, chacun des fragments étant aussi petit qu'on veut, et si la masse de chacun d'eux est proportionnelle à son volume, le corps est dit homogène, et la densité du corps est le rapport des nombres qui mesurent, l'un, la massç d'un de ses fragments, l'autre son volume, rapport qui est le même pour tous les fragments. Si le corps n'est pas homogène, on suppose qu'une partie du volume de ce corps, entourant le point Xf y, z Si pour mas.se m et pour volume v ; et l'on nomme densité du corps au point a;, y, z la limite vers

laquelle tend le rapport — » quand m est de plus en plus petit.

Cette limite est une fonction de a?, y, z, et Ton doit, dans le calcul de la fonction (3), tenir compte de cette circonstance, quand le corps n'est pas homogène, en remplaçant m par le produit S X t', où 8 désigne la densité au point Xy y, z, v une partie infiniment petite du volume du corps, entourant ce point. Si le corps est homogène, sa densité S ne varie pas d'un terme à l'autre de la somme (3) et la fonction à calculer est alors :

/(.s lim 2

V il - xy + {-n - y)' -\- {<: - ^?

^ s , , . ^JSjî.

\ww^^

11. Examinons le cas particulier où le solide est une sphère homogène, de centre et de rayon R, et soit c la distance, supposée supérieure à R , du point au centre de la sphère. Soit A le point : la droite OA étant prise pour axe des z, la fonction

ci-dessus s^exprime ainsi :

l'intégrale étant étendue au volume de la sphère. D'après ce qui a été dit au § 8, elle est égale à

OU, en appelant M la masse totale de la sphère :

L'attraction du point sur la sphère peut être supposée, par raison de symétrie, dirigée suivant OA, et réduite à sa projection sur 0.7. Donc elle est égale à la dérivée de Texpression ci-dessus par rapport à a, savoir :

MpLr

Elle est donc la môme que si toute la masse de la sphère était concentrée au point 0.

Si maintenant le point A fait partie d*une autre sphère, de masse totale M', et qu'on veuille composer les actions exercées par tous les poînls de celte sphère 0' sur la sphère 0, on remplacera celle-ci par un point matériel de masse M situé au point 0, et Ton trouvera, par la même théorie, une résultante dirigée suivant 00', et égale à

ATTRACTION d'uNE SPHÈRE HOMOGÈNE 281

Ainsi, si l'on suppose que chaque point de la masse solaire exerce sur chaque point de la masse terrestre une action proportionnelle à la masse du point attirant, et inversement proportionnelle au carré de la distance du point atliré, on trouve qu'à chaque instant la force qui attire le centre de la terre vers le centre du soleil est égale à

M, M' désignant les masses des deux astres, r le rayon vecteur du centre de la terre ; et Ton a vu qu'une force exprimée de la sorte est propre à lui faire décrire une conique conformément aux lois de Kepler.

12. Tout ce qui vient d'être dit suppose essentiellement le point A extérieur à la sphère. S'il est intérieur, on peut se demander si la résultante des actions exercées sur le point n'est pas infinie, puisqu'il y a, à l'intérieur de la sphère, des points dont la distance au point A est aussi petite qu'on veut. Nous résoudrons cette difficulté de la manière suivante. Sur une sphère de rayon i, traçons un contour fermé, et soit o> sa surface. Le volume du solide compris entre cette portion de la sphère et une surface conique ayant pour sommet le centre

de la sphère et pour directrice le contour, sera égal à -• Sur

une sphère de rayon p, cette surface conique détachera un contour semblable au premier, et le solide limité, d'une part, par la surface conique, et, d'autre part, par la surface sphé-

rique entourée par ce contour, aura un volume égal à ^ •

Cette sphère et la sphère concentrique, de rayon p-|-^P> ^é*^^cheront sur le cône un volume infiniment petit avec Ap, équi-

NOTE DES mTÉGRALES MULTIPLES

valent à p^wAp. Cela posé, je dis que Y attraction dune sphère sur un point A. quilui est intérieur se réduit à V attraction d'une sphère qui lui est concentrique^ et qui passe par le point A. En d'autres termes l'attraction de la couche comprise entre les deux sphères est nulle. En effet, considérons un cône ayant

pour sommet le pointA(/?^.48), et dont Tangle d'ouverture soit aussi petit que nous voudrons.

Divisons la partie ARS de ce cône en solides infiniment petits, analogues à ceux que nous venons de définir, par des sphères ayant pour centre le point A (*). Opérons de même pour le solide BCDE. Soient nqpm, npq'^' deux de ces solides, construits de telle sorte que An = Cn', et que nq = nq = do. Soient aussi An = p,An' = p', <t la portion de la surface de la sphère de rayon 1, détaché par le cône considéré, le centre de la sphère étant au point A. Les volumes de ces s^olides sont

Fig. 48.

çl^odp,

p''ffCfp

et les attractions qu'ils exercent sur le point A, suivant la même droite et en sens contraire, sont égales Tune et l'autre

f[iZcdp.

Donc la somme des attractions exercées par le volume ARS

est égale à

/{xB.ff.AR;

(1) La Qgure 48 représeule la section faite dans les deux sphères par un plan qui passe par leur centre et par le point A.

la somme des attractions exercées par le volume BCDE est égale à

et comme AR =^ BE, ces deux sommes sont égales et de signe contraire (au moins quand <t est infmimenl ( etit). Les actions exercées parles parties ARS, BCDE, du même cône infiniment petit, se font équilibre, et il en est de même de tous les autres cônes analogues.

Donc la recherche de l'attraction exercée par la sphère totale se réduit à la recherche de l'attraction exercée par la sphère concentrique à la sphère donnée, et passant par le point A. On trouvera cette attraction après avoir calculé le potentiel, égal à :

sin OdpdB

JJ. »v-»

Scpcosô + 9'

— — C d C cp sin 9rf9 4n r' ^ ,

et l'attraction sera

— - TUB/JX.C.

13. Nous arrivons maintenant à. l'emploi des intégrales multiples pour la recherche des centres de gravité des surfaces et des volumes. Pour définir Taire d'une portion de surface courbe, limitée par un contour fermé, projetons ce contour sur le plan desa?y ; partageons la projection obtenue en quadrilatères infiniment petits, et soient a?, y les coordonnées d'un point intérieur à l'un de ces quadrilatères. Ce point est la projection d'un point P situé sur la surface, et l'angle que

fait avec le plan des œy le plan tangent à la surface, au point P, est une fonction de a? et dey. L'aire du quadrilatère infiniment petit, divisée par le cosinus de cet angle, sera Télément d'une intégrale double qui, prise à l'intérieur du contour projeté, sera, par définition. Taire de la portion de surface courbe. Cette intégrale aura d'ailleurs la même valeur, quel que soit le plan de projection. En effet, soient Q et Q' les deux plans de projection, a Taire d^un quadrilatère infiniment petit, obtenu dans le plan Q. Ce quadrilatère est la projection d'un quadrilatère détaché sur le plan tangent en P par le cylindre projetant qui a pour base le contour de Télément <y. Soit (I) ce quadrilatère ; projetons-le, ainsi que tous les quadrilatères analogues, sur le plan Q' ; nous aurons partagé la projection sur Q' de la portion de surface courbe considérée, en quadrilatères infiniment petits. Soit fs' Taire de celui qui correspond au quadrilatère <t. Divisant a' par le cosinus de Tangle que fait, avec Q', le plan tangent en P, nous retrouverons û>; de sorte que les deux intégrales doubles seront les limites vers lesquelles tendent deux quantités variables, sans cesse égales entre elles : donc elles seront égales.

Le moment du quadrilatère û> sera le produit de sa surface par la distance du point P au plan des xy ; et la somme de ces moments aura pour limite une intégrale définie, égale au moment de la surface totale, c'est-à-dire au produit de cette surface par la distance de son centre de gravité au plan des asy. De là, une équation qui fera connaître cette distance. On formera deux autres équations analogues qui feront connaître les distances du centre de gravité au plan des yz et an plan des zœ : on connaîtra ainsi les trois coordonnées du centre de gravité.

Voici, d'ailleurs, le calcul. Soient z = f[x^y) l'équation de la surface à laquelle appartient le contour considéré, et

soient aussi r— = p, r^ = q. En un point quelconque,

octy^z, de la surface, le plan tangent a pour équation

X, Y, Z désignant les coordonnées courantes. Ce plan fait avec les trois plans coordonnées des angles dont les cosinus sont

Vi+P^ + q^ Vi+p^ + q^ Vi+p'^ + q^

de sorte que toute portion de cette surface a pour mesure rintégrale double

-JJv^i + P' +q^ àxdy

étendue à la surface suivant laquelle elle se projette sur le plan des xy. Son moment par rapport au plan des œy est égal, d'une part, &

—Jj^ V/i + 1)* + q^ dx dy, .

et, d'autre part, à :

— î /Yv/i + P* + q^dœdy

C désignant l'ordonnée z du centre de gravité. De là Téquation

çjy V/l + P* + q^dxdy =JJ z\/i -I- p» -f- q*dxdy, (4)

OÙ les intégrales doivent être calculées à Tintérieur du contour précédemment défini.

On établira de même les équations

ï /YVi +P^ + q^dœdy =Jfoc V^i + p^ + q^dœdy y\ffVi + p' + q^dœdy =ffy Vi + p^ + q^dxdy, (5)

où Ç, 71 désignent les coordonnées x^y du centre de gravité, et où le contour d'intégration est encore le même.

14. Dans le cas particulier d'une surface sphérique, l'équation (4) est susceptible d'une interprétation géométrique intéressante. L'origine des coordonnées étant au centrede lasphère, son équation est :

et l'on en déduit

x-^-pz z=zo, y ^ qz z=o,

puis

Si, d'autre part, on désigne par S la portion de surface sphérique dont on cherche le centre de gravité, l'équation (4) devient :

ÇS == rffdxdy.

Donc : L'ordonnée z du centre de gravité est une quatrième proportionnelle au rayon de la sphère^ à la projection de la surface sur le plan des xy, et à la surface elle-même (Appell, Cours de mécanique de la Faculté des sciences de Paris).

CENTRES DK GRA.VITÉ

Le calcul de S se ramène toujours au calcul d'une intégrale simple.

Eneffety S est égale à Tintégrale

JJ •r» - 072 - y»

étendue au contour de la projection de la surface sur le plan des yœ.

Si Ton emploie les coordonnées polaires, définies par les formules :

â? = p cos (i>, y = p si^ ^

dœdy doit être remplacé par :

— sm iù cos 0)

cos a> sm 0)

dpd(ù = — ^d^diù.

Donc:

Mais, comme Tintégrale indéfinie :

esl égale à :

on en déduit :

S =J'(v'r» — pi - ^r* — pî) do),

0)^, (1)2 désignant les angles que font avec Ox les tangentes menées de Torigine au contour d'intégration, supposé convexe ; Pi et P2 les rayons vecteurs des deux points de la courbe qui correspondent à une même valeur de «o, si toutefois Vorigine est extérieure au contour, et si chaque rayon vecteur coupe le contour seulement en deux points; si au contraire, l'origine est intérieure, on sera conduit à calculer :

^diù

eu regardant p comme le rayon vecteur d'un point, mobile sur la courbe plane, projection de la courbe sphérique.

15. La recherche du centre de gravité d'une aire plane n'offre plus de difficulté. Le plan de cette aire élant pris pour plan des œy, il suffira de faire, dans les formules (4) et (5) : ^ = 0, p = o, ^f = 0, et Ton trouvera, outre la relation évi-

dente a priori^ Ç = o :

Il xdxdy I I ydxdy

1 1 dxdy 1 1 dxdy

Les intégrales doubles devront être étendues à tous les points de la surface donnée.

Dans ces dernières formules, les intégrales qui figurentaux numérateurs des seconds membres peuvent être transformées en des intégrales simples par suite de Tidentité :

xdx = Y + C

d*où Ton déduit :

JJxdœdy = -^jx^dy,

rintégrale du second membre s'étendant à tous les points du contour.

Une transformation analogue s'impose pour Tintégrale

JJydx dy.

Quant à lUntégrale :

JJdxdy,

la définition même de l'intégrale double permet de la transformer immédiatement en une intégrale simple.

16. Mais tout ce qui précède suppose qu*ii s'agit de surfaces homogènes. Nous n'insisterons pas sur les surfaces de densité variable, et nous indiquerons simplement l'exemple suivant, où il s'agit d'une surface plane : Trouver le centre de gravité d'une aire plane fermée^ en supposant quen chacun de ses points la densité soit proportionnelle à la distance de ce point à une droite fixe, — (Ce centre se nomme le centre de percussion de la surface.)

Prenons la droite donnée pour axe des x. En chaque point la densité est, comme nos lecteurs l'ont aisément compris, la limite du rapport du poids d*une surface infiniment petite, entourant ce point, à l'aire de cette surface ; de sorte que, par rapport à un plan mené par l'axe des x^ perpendiculairement au plan de figure, le moment du rectangle infiniment petit dœdy est égal à ydxdy. Si donc on appelle 7^ Tordon-

2i0 NOTE DES INTÉGRALES MDLTIPLES

née du centre de percussion, elle sera délerminée par Téquation :

fijjydxdy =zjÇy^dœdy,

De même, Tabscisse \ du point cherché remplira la condition:

\ JJydxdy = JJœydxdy.

Les intégrales ci-dessus doivent être étendues à tous les points de la surface donnée, et il est facile de les transformer en intégrales simples. Déplus, ces deux équations montrent qu'à toute droite du plan correspond un centre de percussion, pourvu qu'on regarde comme positives les densités des points situés d'un côlé de la droite, comme négatives les densités des points situés du côté opposé. Réciproquement, tout point du plan d'une aire donnée est, par rapport à une certaine droite, le centre de percussion de cette aire. En effet, si nous rapportons la même figure à d'autres axes, tels que la droite donnée ait pour équation :

œ cos <p -[- y sin (p — p = o,

et si l'on appelle u, V les cordonnées du centre de percussion par rapport à ces nouveaux axes, les équations du problème seront :

V i j{œcos<f^ysinf^p)dœdy= 1 j y{xcosf^-]-y&\n^—p)dœdy u j 1 {xcos<f-{-ys\n^—p)dœdy= j j a7(a?coscp+ysinip — p)dxdy.

et l'on pourra les transformer comme il suit:

= cos ^ I ^ / / ^dxdy — / / xydxdy 1

+8in<p| vjjydxdy^jjy^dxdy J— p vjjdœdy—jjydxdy 1

o = cos ^\^ 1 1 xdxdy — / / xydxdy j

-^sin<p| m/ jydxdy — / j xydxdy 1 — p\ u 1 jdxdy — / Ixdxdy 1

Soient :

jj xdxdy=\, il ydxdy=B, j j x^dxdy=Gy jj xydj:dy=ï>y

C Çy^dxdy = E, ÇÇdxdy = H.

les équations obtenues se transforment encore comme il suit:

et la droite, dont il s*agit d'établir Texistence, est celle dont Téquation résulte de Télimination de <p et de p entre les deux équations ci-dessus et Téquation

En général, cette équation est la suivante :

At? - D

Bt? E

Hw B

Att — C

Bu — D

Hm — A

MiCAMIQUB .

On peut la simplifier eo supposant que l'origine des coordonnées est au centre de gravité de la surface donnée^ supposée homogène.

Alors A = o, B = o, et Téquation ci-dessus se réduit à :

— hv (Cy — Dx) ~ Hu (— Dy + Eo?) 4- D* — EC = o ou bien

na pp

r (Cy - Do?) -f- u ( - Dy 4- Ex) - — g-^ = o

et Ton voit que la droite cherchée est la polaire du point u, v par rapport à la conique ayant pour équation :

r|f pr»

Ex^ — 2Pa?y + Cy^ — „ = o.

Il n*y a donc pas à insister davantage sur les positions qu'occupent le centre de percussion et l'axe de percussion correspondant, lorsqu'un de ces éléments se meut dans le plan diaprés une loi donnée. Mais il y a lieu d*ajouter qu'il existe un système d'axes coordonnés, et un seul, pour lequel l'intégrale D est nulle : c'est le système formé par les axes de symétrie de cette conique. Si l'on remarque ensuite que les trois intégrales G, E, H sont essentiellement positives, on en conclut que celte conique est une ellipse imaginaire, de telle sorte que, si Ton mène le diamètre conjugué de l'axe de percussion, et si Ton désigne par M le point où il coupe cet axe, par G le centre correspondant, les deux points M, G sont situés de part et d'autre de l'origine des coordonnées, à des distances de cette origine, dont le produit est égal au carré du demi-diamètre dirigé suivant MG.

17. Il nous reste à parler des centres de gravité des volumes, «t de leur détermination par les intégrales multiples. Divisons le volume du solide donné en parallélipipédes infiniment

petits, par des plans parallèles aux trois plans coordonnés. Soient dœ^ dt/, dz les dimensions de Tun d'eux, a?, y^ z les coordonnées d'un point qui lui soit intérieur. Son moment par rapport au plan des yz sera xdxdydz\ et, si Ton appelle S, 7),!; les coordonnées du centre de gravité, les équations des moments, propres à déterminer S, -vj, C, seront

\ 1 jÇdxdydz = Cl Çxdxdydz Tj f jjdxdydx = jjjydxdydz Ç il I dxdydz z= j j ( zdxdydz,

les intégrales s'étendant à tout le volume. L'intégrale qui figure dans les premiers membres de ces trois équations se ramène aisément à une intégrale double : il en est de même des trois autres. Considérons, par exemple, la première, et supposons, pour simplifier, que toute parallèle à Taxe Ox rencontre, en deux points seulement, la surface qui limite le volume donné. Soient x^, x^ les x de ces deux points. L'intégrale indéfinie

/x^ X dx étant égaie à -^j l'intégrale triple

/ / / xdxdyds étendue à tout le volume considéré sera égale à

^ff^^^ ■" ^' ) ^^^^'

et Ton pourra faire subir une transformation analogue aux deux autres intégrales triples.

Application. — Soit à déterminer le centre de gravité du volume d*un cylindre tronqué, supposé homogène. Les plans des deux bases se coupent suivant une droite D, située dans un plan P, qui contient les milieux de toutes les arêtes latérales du solide. Ge plan coupe la surface cylindrique suivant une certaine courbe, limitant une aire plane, que nous diviserons en éléments infiniment petits. Chacun de ces éléments sera la section faite par le plan P sur la surface d*un cylindre tronqué, ayant ses génératrices parallèles à celles de la surface cylindrique donnée, et limité par les plans des bases du solide donné. Chaque cylindre élémentaire sera divisé par le plan P en deux cylindres équivalents; son centre de gravité sera un point de Télément correspondant, G par exemple. Soient H le point où le plan d'une base est coupé par la parallèle menée de G aux arêtes du cylindre tronqué, a Tangle que fait le plan P avec le plan de la section droite, « la surface de l'élément considéré : le volume du cylindre tronqué élémentaire sera égal à