FORCES DE DIRECTION CONSTANTE

qu'éprouveraient, dans ces conditions, les vitesses du mobile

Aw FF',

auxiliaire. Donc 7- est compris entre — et — ; par suite sa

A< ^ mm

limite est — • m

Cette limite est Taccélération du point matériel au temps t. Soit X sa distance h un point 0, fixe sur sa trajectoire, on aura sans cesse :

cPx

et si F est connue en fonction de t on déduira de cette équation la loi des vitesses et la loi des espaces, si l'on connaît

dx d'autre part les valeurs de — et de a? répondante une valeur

donnée det{t= o, par exemple).

S. Mais F est rarement connue en fonction de t; elle Test

plus souvent en fonction de a? et de -;-• La recherche de la fonçai

tion X ressort alors du calcul intégral, et Ton ne peut, dans ce cours, en donner que quelques exemples simples. Si, par exemple, la force varie proportionnellement à une puissance donnée de la vitesse et s'exerce en sens contraire du mouvement, on aura:

cPx fdx\ '

a désignant une constante négative ; ou bien :

/c?a?\-'» fd?x\ \Jt) \'d^)=''^

d'où Ton déduit, par l'intégration,

i-rt

1 — n\dtj ^

équation où b désigne une constante. — (Nous écartonf?, momentanément, le cas où n = i.) L*équation ci-dessus fait connaître la loi des vitesses, et Ton en déduit^ pour trouver la loi des espaces :

dx = (i— ny-'' (at -f- by -« dt

puis :

c désignant une nouvelle constante. Dans le cas particulier où n = 1, la méthode ci-dessus est inapplicable : mais Téquation (1) donne :

(Px

d'où:

dt^ ~~^ dt

■^^ = ax + b

b désignant une constante. D*aulre part, si Ton met l'équation (2) sous la forme :

di^ dx Ti

on en déduit :

lo^ — =ai'\' log c.

c désignant une nouvelle constante. On trouvera ensuite :

=: ce'^K