AC = AU
Or, d'après l'hypothèse, AB et CR conservent des grandeurs constantes, AU est fixe d'après la première partie de la démonstration. Donc le point C est fixe. En résumé :
Lorsque les forces données pivotent autour de leurs points d* application en demeurant parallèles et conservant leurs sens
respectifs et leurs grandeurs^ la résultante pivote seulement autour du point fixe C sans changer de grandeur.
De là résulte que le point C est entièrement déterminé : c'est le point de concours des résultantes correspondantes à toutes les directions des forces parallèles. Il est donc indépendant du choix du point A et de la longueur AB. Ce point remarquable s'appelle centre des forces parallèles ; il prend le nom de centre des moyennes distances des points A,, Aa, •.., quand les forces appliquées en ces points sont égales entre elles. Enfin, il joue un rôle particulièrement important dans le cas des corps pesants, où il porte le nom de centre de gravité. Ce cas est étudié plus loin (§ 2 et suivants}.
40. Théorème de Leibniz. — On joint le centre C des forces parallèles au point d^ application k^ de la première force^ AiPf. Sur CAi, on porte un segment Wi proportionnel à Cki et à AiPf. Ce segment est porté dans le sens de C vers Ai, si AiPi est dans le sens des forces positives^ et dans le sens opposé, dans le cas contraire. Si on opère de même pour les autres forces, A^Pa, ...» les forces représentées par les^ segments CUi, CUj, ... sont en équilibre .
Ce théorème est une conséquence immédiate de la méthode de réduction des n"" 38 et 39. En effet, les constructions indiquées par l'énoncé du théorème sont celles qui résultent de la formule (i), (39), sauf que le point arbitraire A est remplacé par le point particulier C. Or la formule (2) donne pour la résultante des forces A^Ui, A^Ug, ... l'expression
Af (2)' AU = CR . — .
L'hypothèse est ici que le point A coïncide avec le point C, c'est-à-dire que AG est nul. Dès lors la formule (2)' montre que la résultante AU est aussi nulle. Ainsi, les
STATIQUK
forces de l'énoncé, GUi, CUj, ... ont une résultante nulle ;
elles sont bien en équilibre.
41 . Règle pratique particuliëro au cas de deux forces parallèles. -X D'après le n®38, la résultante GR (fig. ci-dessous) des deux forces données AjPj, A^P^, est parallèle à ces forces et égale à leur somme quand elles sont de même sens. Si elles sont de sens contraire, la résultante est égale k leur différence et dirigée dans le sens de la plus grande force. Le point d'application G de la résultante s'obtient par le théorème du n° 40. Les forces
GU, = GA, X Pi , GUj = GA, X P^
doivent se faire équilibre. Donc :
1° Le point G est sur la droite A,Aj ;
2" Si les forces AiPi et A^P^sont de même sens, les forces CUi et GUj sont portées dans le même sens respectivement que GAi et CAj. Donc G doit être entre les points Ai et A^. Dans le cas contraire, le point G est sur Tun des deux prolongements du segment AiA^, du côté de la plus grande force ;
3° Les forces GUi et GU^ , pour se faire équilibre, doivent être égales. On aura donc
LAi X Pi = LAj X P2 >
d'où l'on tire, en considérant par exemple le premier cas,
Pi
Pi + P.
GA, GAj GA, -^GAj A,A,
Chacune des trois forces P,, Pj, R est proportionnelle au segment non adjacent.
Ce théorème se démontre de même quand les deux forces données sont de sens contraire. Il est d'une application facile et permet, par exem-
pie, de décomposer une force donnée CR en deux autres, parallèles à la première et dont Tune est donnée.
42. Application À la composition d'un nombre quelconque de forces parallèles. — Soient les forces :
AjPi, AgPg, , dirigées dans un sens ;
A;P',, A2P2, ...... dirigées en sens inverse.
Les forces AiPi et AgPg ont une résultante B2Q2 donnée par la règle précédente (41) ; B^Ch" et AgPg de même, et ainsi de suite. On arrivera ainsi à remplacer les forces dirigées dans le premier sens par une résultante BQ. De *môme, les forces dirigées en sens contraire ont une résultante B'Q'.
Ici plusieurs cas se présentent :
i« BQ et B'Q' sont inégales.
Elles admettent une résultante CR donnée par la règle précédente.
2" BQ et B'Q' sont égales et non directement opposées. N'étant pas directement opposées, elles ne se font paséquilibre (19). Nous verrons qu'elles ne peuvent pas être '^ remplacées par une force uni-
Q que (94). On dit qu'elles for-
^^^^ ment un couple, La théorie des
% ^.- ^^ ^ couples sera faite plus loin
%' Qi (chap. III, § 2).
Q' Enfin, si elles sont égales et
directement opposées^ il y a équilibre. Ce cas se décompose en deux autres :
3° Les points B et B' sont distincts.
L'équilibre est dit astatique, parce qtie, si l'on change la direction des forces, les nouvelles forces BQ,, B'Qi ne se font plus équilibre.
4" Les points B et B' se confondent.
40 STATIQUE
L'équilibre est dit statique : il subsiste quand on change la direction commune des forces parallèles.
* 43. Expressions analytiques. — 1® Cas général des forces
parallèles. — Soient Pi, P2 les valeurs algébriques des
forces données. On aura d'abord, pour la valeur algébrique R de la résultante,
R rrPi-hPg-h = SPi.
Pour repérer les points d'application des forces, je choisis arbitrairement trois axes coordonnés, Ox, Oy, 0^. Soient
/ les coordonnées des points d'application, Al, As,
J* ^^' \ des forces données.
^l> ^ii J ^
J'applique les résultats des n°" 38 et 39, en supposant le point
arbitraire A placé au point et le
segment arbitraire AB égala Puni té.
^^ La formule (1), n® 39, donne alors
^^^1 ., ^ Or les segments OÛi et ÔAi sont
^"'^^ proportionnels à leurs projections
sur Oa?, parallèlement au plan yOz.
'0 y On a donc cette formule
proj. OUi = proj. OAi.Pi .
^ Remplaçant proj. OAj par sa* va-
leur x^ et opérant de même pour les autres forces, il vient
proj. OU/ = arjPi,
proj. OUi = x^V^,
Soient maintenant x, t/, 2 les coordonnées du centre C des forces parallèle?. Par l'application de la formule (2), n« 39, on obtient de même, pour la résultante OU de ces forces OU/,
oui,
proj. ou = a;.R.
Écrivons maintenant que la projection de la résultante OU est égale à la somme algébrique des projections des composantes
OU/, OU2, 11 vient, en remplaçant R par sa valeur SPi,
x.j:9i^.-Ci?i-hx^?i-\- = SflPiPi..
De cette formule, on tire pour x une valeur qui, jointe à celle qu'on obtiendrait de même pour y et js, donne les coordonnées
du centre G des forces parallèles, savoir
SfiPi SPi
Remarque. — Si les nombres Pi, Pa, ....i sont tous égaux et en nombre n, il vient
>/Pi "~ n
ce qui exprime que x est la moyenne arithmétique entre x^, ^2j
La disf^nce du point G au plan quelconque yz, comptée parallèlement à la direction quelconque Ox, et positivement dans le sens Ox, est moyenne arithmétique entre les distances des points Al, Aï, au même plan, comptées de même.
Cette propriété explique le nom de centre des moyennes distances donné dans ce cas au point G (39).
2° Cas où la somme c^lgébrique des forces données est nulle, SPi = Q-. Cas du couple. — J'appliquerai la méthode du n» 42. Pour éviter la confusion, je désignerai par S les sommes relatives aux forces dirigées dans un même sens, par S les sommes algébriques s'é tendant à toutes les forces, positives et négatives ; les lettres qui se rapportent à ces forces négatives seront, comme au n° 42, distinguées par un accent. On aura
0=:2P, = S(Pi)+S(P/).
Les forces positives ont une résultante dont la valeur algébrique Q et le point d'application B (a, p, y) sont donnés par les formules établies au premier cas et qui s'écrivent ici
(â) Q i>(P,), «-^^, p___-, '(--Ji^-
La résultante Q' des forces négatives et son point d'application B' («', P', f) sont
(2) Qv=s(P.), « -^^p^, p --siPiT' ^ -WïT'
En général, ces forces Q et Q' forment un couple.
3* Équilibre astatique, — Au lieu du couple, il y aura équilibre astatique, si, outre l'hypothèse SPi =0, on suppose que 6B' est parallèle à la direction des forces données.
STATIQUE
Pour exprimer cette nouvelle condition, menons une droite OM
égale à -j- ^ , parallèle à la direction des forces, et écrivons que les segments OM et B'B sont proportionnels à leurs projections sur les trois axes ; on aura ainsi, en désignant par a, ^, c les trois projections de OM qui sont les coefficients angulaires de la direction des4forces, et remarquant que les projections de B'B sont a — a', ? — ?', y — T>
FB g — g^ __ 3 — a^ Y — ï' (jM ""«"'*'" c '
ou, en suppprimant le premier rapport, et remplaçani les numérateurs par leurs valeurs déduites des formules (2) et (2/,
S(P,) S(Pi)
S(Piyi) S(P;yi) S(Piai) S(PU-i) S(Pi) SfPU S(Pi) S(Pi)
En remplaçant S (Pi) par —S (Pi), chassant le dénominateur S (Pi), remplaçant S(Pia7i)-i- S(Pia7'i) par S Pi a;i et opérant de même pour les deux derniers rapports, il vient enfin
ÏP^ XP^ 2Pt£|
4° Équilibre statique. — L'équilibre est statique si les points B et B' coïncident, c'est-à-dire si Ton a
S(P.«i) S(P{a7;) S(P,i/î) S(Pîy{) S(P,.,) SÇPja;)
S(P,) ~ s(p;) ' S(Pj ~ s(p;) ' siP,) ~ ^{Pi) '
Remplaçant S(PJ) par — S(P4), chassant le dénominateur S(Pi), faisant passer les seconds membres dans^les premiers, et tenant compte de la notation précédente, il vient
'frr
Réstcmé de la discussion.
