CENTRES DE GRAVITÉ DE LIGNES 5J
exemple^ je mène le bras de levier MiPi ; j*aurai
(1) mom* AAi = AAi X MiPi.
Pour transformer cette expression, je joins les points et Ati et par les points A et Ai je mène dea. parallèles ACi, AiCi respectivement à OX et OG ; j'aurai dans les triangles semblables AAiCi, OMiPi,
AAi ACi
OM, ~MtPi' d'où
(2) AAjXM,Pt = OM, XAC,.
Portant cette valeur dans l'égalité (1), remarquant que 0M est Tapothème r du polygone, que ACi égale la projection de AAi sur AB, laquelle nous désignerons par pr. AA|, et appliquant l'expression trouvée aux moments des autres côtés, il vient
mom* AAi = r X pr. AAi,
mom* A1A2 = r X pr» AiA„
Ajoutant ces égalités membre à membre, il vient
mom*AAi + mom* A1A2 H = ^ X (pr. AAi -+- pr. AiAj H ),
La parenthèse du second membre égale la corde AB, que nous désignerons par c ; la somme des moments des composantes est donc rc ; d'ailleurs la résultante, ou le poids total, est le périmètre p du polygone ; son bras de levier est OG, que nous désignerons par a; ; on a donc, d'après le théorème de& moments,
px z= rCf d'où
rc
P formule qui démontre le théorème.
* 59. Arc de cercle. — Théopème. — Le centre de gravité d'un arc de cercle est sur le rayon moyen y à une distance du centre égale à la quatrième proportionnelle entre l'arc, la corde et le rayon.
Soit l'arc de cercle AB ayant pour rayon R, pour longueur a et pour corde c. Si dans cet arc j'inscris une ligne brisée régulière, son centre de gravité sera sur le rayon moyen, à une
distance du centre égale à — (58). Si on augmente indéfiniment
le nombre des côtés de la ligne inscrite, son périmètre p a pour
STATIQUE
limite Tare a, r a pour limite R, enfin le centre de gravité du contour polygonal a pour position limite celui de Tare. Donc le centre de gravité de Tare se trouve sur le rayon moyen, à -une distance du centre donnée par la formule
Hc « ^ „ ^
§ IV. — Centres de gravité de surfaces.
60. Triangle. —Théorème. — Le centre de gravité de Vaire d^un triangle est au point de rencontre des médianes.
Soit le triangle ABC ; je mène la médiane AD ; c'est un diamètre pour des cordes parallèles à BC ; donc le centre de gravité G est sur cette médiane. De même il se trouve sur les médianes BE, CF ; il est donc à leur intersection.
Corollaire. — Les trois médianes d'un triangle concourent en un même point.
61 . Théorème. — Le centre de gravité d*un triangle est le centre des moyennes distances de ses trois sommets.
Si en effet on suppose en A, B, C des poids égaux, la résultante des poids B et C est appliquée au milieu D de BC. Reste à composer les poids appliqués en A et D : le point d'application de leur résultante, qui est le centre des moyennes distances des trois sommets, est donc sur la médiane AD ; de môme il est sur les deux autres médianes ; donc il coïncide avec le centre de gravité de Taire du
triangle.
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CENTBBS DE GHAVITE DE SURPACEa
Remarque. — Le point G étant le point d'applicat la résultante des poids appliqués en A et D et qui son le rapport de 1 à 2, on a
Corollaire. — Les médianes d'un triangle se coup( tiers de chacune d'elles à partir de ta base.
