CENTRES DE GRAVITÉ DE SURFACES

en remplaçant R^ — CD* par cette valeur dans Tégalité (2), il vient

ou

0^ = jgg- C. Q. F. D.

* 67. Zone. — Théorème. — Le centre de gravité d'une zone est au milieu de la hauteur de cette zone.

Soit, dans la sphère 0, la zone ABCD. D'abord le centre de gravité est sur la hauteur EF, qui est un axe de symétrie de la zone, Cela posé, je considère deux zones mn, m'n' de même hauteur, équidistantes du milieu G di EF : elles ont même mesure, donc leurs poids sont égaux ; ces poids sont appliqués en des points

Py p' situés sur EF, à Tintérieur de ces zones ; si donc ont fait tendre vers zéro la hauteur commune, on aura

lim Gp = lim Gp' ;

donc le point d'application de la résultante de ces poids a pour position limite le point G.

Ainsi on pourra décomposer la surface ABCD en zones telles que le centre de gravité de chaque couple a pour position limite le point G quand on augmente indéfiniment le nombre des divisions ; donc le centre de gravité total est au milieu G de EF,

* 68. Surface du tétraèdre. — Théorème. — Le centre de gravité ^e la surface d'un tétraèdre est le centre de la sphère inscrite dans le tétraèdre qui a pour sommets les centres de gravité des faces du tétraèdre donné.

Soit le tétraèdre ABCD : aux centres de gravité a, 6, c, d des faces sont appliqués des poids mesurés par ces faces. Je forme le

STATIQUE

tétraèdre abcd; soit £ le centre des forces parallèles appliquées

en Cf d; on aura

Ec ABC abc EeZ'"ABD'"a6rf*

Donc le plan abE est le plan bissecteur du dièdre ab. il nous reste à composer les poids appliqués en a^ b, Ë ; le centre de gravité est donc dans le plan de ces trois points, c'est-à-dire dans le plan i)issecteur abE ; de même il se trouve dans les cinq autres plans bissecteurs ; il est donc à leur intersection , c'est - à - dire

au centre de la sphère inscrite dans le tétraèdre abcd,

Corollaire, — Les six plans bissecteurs intérieurs des dièdres

d'un tétraèdre concourent en un même point.

* if

§ V. — Applications géométriques des centres